本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

分段插值

引入背景

1. 龙格（Runge）现象
   对某些函数使用等距节点构造高次多项式插值时，插值区间端点处不收敛（无论是Lagrange插值还是Hermite插值）

2. 多项式的整性
   多项式函数是整函数，局部改变会引起全局变化

分段线性插值

插值条件

在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 内，基于节点 $x_{i-1},x_i$ 使用 Lagrange 插值（两个节点得到一次插值多项式，记为${\varphi }_n(x)$）

余项估计

$$\begin{array}{rl}& |f(x)-{\varphi }_n(x){|}_{[x_{i-1},x_i]}\\ =& |L_1(x)-f(x)|\\ =& \frac{1}{2}|f^{\prime \prime }(\xi )||(x-x_{i-1})\cdot (x-x_i)|\\ \le & \frac{1}{8}M{h}^2\end{array}$$

分段三次Hermite插值

引入背景

解决分段线性插值不光滑的问题

插值条件

在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 内，基于节点 $x_{i-1},x_i$ 使用 Hermite 插值（得到三次插值多项式，记为$H_h(x)$，$h=\max |x_i-x_{i-1}|$）

余项估计

$$\begin{array}{rl}& |f(x)-H_h(x){|}_{[x_{i-1},x_i]}\\ =& |\frac{1}{4!}{f}^{(4)}(\xi )(x-x_i{)}^2(x-x_{i+1}{)}^2|\\ \le & \frac{M}{4!}(\frac{x_{i+1}-x_i}{2}{)}^4\\ =& \frac{M{h}^4}{384}\end{array}$$

参考书籍：《数值分析》李庆扬 王能超 易大义 编