二叉树的初步学习和顺序结构实现

当我们学完顺序表、链表、栈和队列的时候，我们就要开始学习树了。树对于以后的学习有非常大的帮助，尤其是排序。好了，开始我们的学习吧。

1.树的概念及结构

1.1树的结构

树结构是一种非线性结构。它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个 特殊的结点，称为根结点 ，根节点没有前驱结点。
除根节点外， 其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 …… 、 Tm ，其中每一个集合 Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继。
因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 树的相关概念

节点的度 ：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图： A 的为 6

叶节点或终端节点：度为 0 的节点称为叶节点；如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶节点

非终端节点或分支节点 ：度不为 0 的节点；如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支节点

双亲节点或父节点 ：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图： A 是 B 的父节点

孩子节点或子节点 ：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图： B 是 A 的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图： B 、 C 是兄弟节点

树的度 ：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为 6

节点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层，以此类推；

树的高度或深度 ：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为 4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图： A 是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是 A 的子孙

森林：由 m （ m>0 ）棵互不相交的树的集合称为森林；

（黄色都是需要重点记忆，其它概念了解就行）

当我们想要表达树的深度/高度的时候，推荐从1开始。

1.3树的表示

方法1：如果明确了树的度，那么就可以定义。

方法2：顺序表存储孩子

方法3：双亲表示法（每个位置只存储双亲的指针或者下标）

方法4：左孩子右兄弟表示法（最优表示法）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了， 既然保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系 ，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法 。

struct TreeNode
{struct TreeNode* firstChild1;   //第一个孩子节点struct TreeNode* pNextBrother;  //指向其下一个兄弟节点int data;  //节点中的数据域
};

1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树的概念及结构

2.1 概念

一棵二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

1.或者为空

2.由一个根节点加上2颗别称为左孩子和右孩子树的二叉树组成。

从图片可以看出二叉树的特点是：不存在度大于2的节点；有左右之分，次序不能颠倒，所以是有序树。

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 特殊的二叉树

二叉树又分为2种：满二叉树和特殊二叉树。

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 $2^k-1$ ，则它就是满二叉树。

完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

可以记住以下简略特点：假设完全二叉树有h层，前h-1层都是满的，最后一层可以不满，但是从左到右是连续的。它的节点数范围是[ $2^(h-1)$ ， $2^h-1$ ]。

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 $2^(i-1)$ 个结点.

2. 若规定根节点的层数为 1 ，则 深度为 h的二叉树的最大结点数是 $2^h-1$

3. 对任何一棵二叉树 , 如果度为 0其叶结点个数为 n0 , 度为 2的分支结点个数为n2 ,则有 n0 ＝ n2 ＋1

4. 若规定根节点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满二叉树的深度 ， h= $log2(n+1)$

. (ps ：是log 以 2为底，n+1 为对数 )

5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为i 的结点有：

1. 若 i>0 ， i 位置节点的双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根节点编号，无双亲节点

2. 若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ， 2i+1>=n 否则无左孩子

3. 若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ， 2i+2>=n 否则无右孩子

2.4 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用 数组来存储 ，一般使用数组 只适合表示完全二叉树 ，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

父子间的下标关系（适合满二叉树和完全二叉树）

知道父亲下标找孩子：

leftchild = parent*2+1 rightchild = parent*2+2

知道孩子下标找父亲：

parent = (child-1)/2

2.链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

3.二叉树的顺序结构及实现

这次我们先学习顺序存储，下一节我们再学习链式存储的实现

3.1 堆的概念及结构

大根堆：树中任何一个父亲都大于或等于孩子。

小根堆：树中任何一个父亲都小于或等于孩子

堆的性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

3.2 堆的实现

3.2.1堆的向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

算法思路：我们以小堆为例。先假设左孩子比右孩子小，如果左孩子的父亲比孩子大，那么就让孩子和父亲进行交换，然后让孩子的下标给父亲，这样原来的孩子就成了父亲，然后重新计算父亲的下标，循环往复，一直让这个二叉树变成小根堆，最后如果满足小根堆就跳出循环。如果我们假设错误，那么就是右孩子小，于是就让右孩子和父亲进行交换，方法还是和上面一样。循环的结束条件就是孩子的下标大于数据个数。

代码实现：（其中a是数组名，n是数据个数，parent初始化为0）

void AdjustDown(int* a,int n,int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < n){if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])  //child + 1 < n && a[child + 1] > a[child]大根堆{++child;}if (a[child] < a[parent]) //a[child] > a[parent]大根堆{Swap(&a[parent], &a[child]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}

交换函数

void Swap(HpDataType* p1, HpDataType* p2)
{int tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}

对于child的下标上面已经给出了计算公式

图解实例：

小伙伴们可以对照着代码自己画张图进行理解。只有自己把图画出来才能更好的理解代码。

好了，正式开始我们对堆的实现吧

3.2.2 堆的创建

堆的结构

typedef int HpDataType;
typedef struct Heap
{HpDataType* a;    //数组int size;    //数据个数int capacity;    //容量空间
}HP;

初始化堆

void HeapInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = 0;php->capacity = 0;
}

堆的销毁

void HeapDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}

堆的插入

在进行堆的插入的时候，我们以小根堆为例，大根堆也是类似。插入的时候看需不需要扩容，需要的话，扩容方法跟链表一样。另外我们还要学习一个新算法，叫向上调整算法。先看代码吧

算法思路：1.先将元素插入到堆的末尾，即最后一个孩子之后(可以看成插入到数组的末尾）

2.插入之后如果堆的性质遭到破坏，将新插入节点顺着其双亲往上调整到合适位置即可。

从根开始下标是0

void HeapPush(HP* php, HpDataType x)
{assert(php);if (php->size == php->capacity){int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HpDataType* tmp = (HpDataType*)realloc(php->a, newCapacity * sizeof(HpDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc fail");return;}php->a = tmp;php->capacity = newCapacity;}php->a[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

void AdjustUp(HpDataType* a,int child)//小根堆
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] < a[parent])  //a[child] > a[parent]大根堆{Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}

堆的删除

堆的删除就要用到向下调整算法了

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据和最后一个数据交换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。直到将堆顶元素向下调整到满足堆特性为止。还是下标从0开始，最后一个元素的下标是size-1.

void HeapPop(HP* php)
{assert(php);assert(!HeapEmpty(php));Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

其它关于堆的应用我就直接写代码了。

获取堆顶元素、判断是否为空和获取元素个数

HpDataType HeapTop(HP* php)
{assert(php);return php->a[0];
}bool HeapEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}int HeapSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}

接口函数（Heap.h）

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>typedef int HpDataType;
typedef struct Heap
{HpDataType* a;int size;int capacity;
}HP;//向上调整
void AdjustUp(HpDataType* a, int child);
//向下调整
void AdjustDown(int* a,int n,int parent);void HeapInit(HP* php);
void HeapDestroy(HP* php);
//插入数据
void HeapPush(HP* php, HpDataType x);
//删除数据
void HeapPop(HP* php);
HpDataType HeapTop(HP* php);
bool HeapEmpty(HP* php);
int HeapSize(HP* php);

测试函数

好了，堆的创建我们已经会了，接下来我们通过排序来看看堆的神奇之处在哪？

3.3 堆的应用

3.3.1 堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1.建堆：升序--建大堆降序--建小堆

2.利用堆删除思想来进行排序。

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

不过向上调整和向下调整都可以，向上调整比向下调整容易理解。这里我会把2个方法都将一下，小伙伴们觉得哪个简单就学习哪个吧。

我们以降序为例，前面我们已经了解到降序需要建小堆，那么向上调整算法（从根开始）该怎么操作才能让无序数组变成一个降序的呢？

我们可以根据代码来看一看。其实这个代码很好理解，小伙伴们可以自己画图来试一试。这里我就不过多演示了。

void HeapSort(int* a, int n)
{//升序--建大堆//降序--建小堆//建堆--向上调整建堆--从根开始for (int i = 1; i < n; i++){AdjustUp(a, i);}int end = n - 1;while (end > 0){Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);--end;}
}int main()
{int a[] = { 7,8,3,5,1,9,5,4 };HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));return 0;
}

向下调整建堆

void HeapSort(int* a, int n)
{//升序--建大堆//降序--建小堆//倒着调整--从叶子节点开始调整  O(N)//n-1是最后一个数据的下标for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(a, n, i);}//O(N*logN)int end = n - 1;while (end > 0){Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);--end;}
}
int main()
{int a[] = { 7,8,3,5,1,9,5,4 };HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));return 0;
}

倒着调整，叶子节点不需要处理，因为叶子节点可以看成大堆或者小堆，从最后一个节点的父亲开始调整。

n是最后一个节点的下一个位置，知道孩子下标找父亲，用公式就可以了parent=(child-1)/2.

3.3.2 TopK问题

TOP-K 问题：即求数据结合中前 K 个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大 。

对于 Top-K 问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了 ( 可能数据都不能一下子全部加载到内存中) 。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前 K 个元素来建堆

前K个最大的元素，建小堆；前K个最小堆元素，建大堆

2. 用剩余的 N-K 个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余 N-K 个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的 K 个元素就是所求的前 K 个最小或者最大的元素。

我们以文件的形式来写代码，这样比较好观察。

void CreateNDate()
{// 造数据int n = 10000;srand(time(0));const char* file = "data.txt";FILE* fin = fopen(file, "w");if (fin == NULL){perror("fopen error");return;}for (size_t i = 0; i < n; ++i){int x = rand() % 100000;//保证每个数据都在10万以内fprintf(fin, "%d\n", x);}fclose(fin);
}void PrintTopK(int k)
{const char* file = "data.txt";FILE* fout = fopen(file, "r");if (fout == NULL){perror("fopen error");return;}int* kminheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (kminheap == NULL){perror("malloc error");return;}for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(fout, "%d", &kminheap[i]);}// 建小堆for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(kminheap, k, i);}int val = 0;while (!feof(fout)){fscanf(fout, "%d", &val);if (val > kminheap[0]){kminheap[0] = val;AdjustDown(kminheap, k, 0);}}for (int i = 0; i < k; i++){printf("%d ", kminheap[i]);}printf("\n");
}int main()
{CreateNDate();PrintTopK(5);return 0;
}

代码运行完成之后我们该怎样知道这5个数是不是最大的前5个呢？我们运行的时候可以先把PrintTopK(5)先注释掉，运行代码然后打开文件随便改5个数据保存之后，回到代码窗口，把CreateNDate()注释掉，运行PrintTopK(5)函数，这样就知道是不是前5个最大的了。如果不把随机函数注释掉，那么每次运行就会重新产生随机数。