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前言

在上一篇中我们学习了平稳随机过程这一特殊的随机过程，这篇我们进一步学习平稳过程具有哪些性质。

一、平稳过程的不变性

首先，对于一个平稳过程$X(t)$，对其做任意加法数乘运算得到$Y(t)=kX(t)+b$仍然是平稳过程。容易验证其满足平稳过程定义：

$EY(t)=kEX(t)+b=k{m}_X+b=m_Y$
$E[Y(t)Y(t+\tau )]=k^{2}E[X(t)X(t+\tau )]+kbEX(t)+kbEX(t+\tau )+b^2$
$=k^2{R}_X(\tau )+2kb{m}_X+b^2=R_Y(\tau )$

那么有了这个前提，我们可以继续推到，对平稳过程做任意的线性运算得到的仍然是平稳过程，比如与信号$f(t)$做相关运算：

$Y(t)=\int X(t)f(t)dt$
$EY(t)=E[\int X(t)f(t)]d=\int EX(t)f(t)dt=m_X\int f(t)dt=m_Y$
$E[Y(t_1)Y(t_2)]=E[\int X(t_1)f(t_1)d{t}_1\int X(t_2)f(t_2)d{t}_2]$
t_1,t_2之间无函数依赖，累次积分可以化为二重积分：
$=E[\int \int X(t_1)X(t_2)f(t_1)f(t_2)d{t}_{1}d{t}_2]=\int \int R_X(t_2-t_1)f(t_1)f(t_2)d{t}_{1}d{t}_2=\int \int R_X(\tau )f(t_1)f(t_2)d{t}_{1}d{t}_2=R_Y(\tau )$

这个二重积分$R_X(\tau )$仅与时间差有关，因为每当$\tau$取值确定时，该积分结果是常数——这个相关函数仅与时间差有关。

通过这次验证可以发现，之所以平稳过程能有这种所谓的线性不变性，是因为线性运算的顺序可以与求数学期望替换（因为求数学期望也是一种线性运算），在验证两个条件时，先求期望后，再做线性变化并不会影响这两个条件的成立。

二、平稳过程通过线性时不变系统

2.1 输出随机过程的特性

现在，我们考虑一个平稳过程$X(t)$通过一个线性时不变系统$h(t)$时，它的输出具有什么特点。首先，我们知道卷积也是线性运算，所以，输出的随机过程$Y(t)$也是平稳过程。其均值与自相关函数为：

$EY(t)=E\int X(t-u)h(u)du=m_X\int h(u)du=m_x\int h(u)e^{-2\pi ft}du{|}_{f=0}=m_{x}H(0)$
$E[Y(t)Y(t+\tau )]=E\int \int X(t-u)X(t+\tau -v)h(u)h(v)dudv=\int \int E[X(t-u)X(t+\tau -v)]h(u)h(v)dudv=\int \int R_X(\tau +u-v)h(u)h(v)dudv$

根据维纳-辛钦定理，可以对自相关函数做傅里叶变换，得到输出随机过程的功率谱密度：

$P_Y(f)=\int R_Y(\tau )e^{-2\pi f\tau }d\tau =\int \int \int R_X(\tau +u-v)e^{-2\pi f\tau }h(u)h(v)dudvd\tau$
$\tau ,u,v$无函数依赖，交换积分顺序，先对$\tau$积分：
$=\int \int \int R_X(\tau +u-v)e^{-2\pi f(\tau +u-v)}h(u)e^{2\pi fu}h(v)e^{-2\pi fv}dudvd\tau$
$=\int \int P_X(f)h(u)e^{2\pi fu}h(v)e^{-2\pi fv}dudv$
再分别对$u,v$求积分，
$=P_X(f)H(-f)H(f)$

如果该系统为实系统，即冲激响应$h(t)$为实响应，则有共轭偶对称性

$H^{\ast }(-f)=H(f)$
$H(-f)=H\ast (f)$

因此输出随机过程的功率谱密度为$P_Y(f)=P_X(f)|H(f){|}^2$，与确定信号的结论一致。

2.2 输入输出随机过程的关系

此外，前面我们知道对平稳过程做线性运算，其自相关函数仍然保持其平稳性（即$EY(t)Y(t+\tau )$）。那如果我们只对其中一个$X(t)$做线性运算，“其自相关函数”自然也会保持平稳性（即$EX(t)Y(t)$）。因此，我们有更进一步的结论，即平稳过程经过线性时不变系统，其输出与输入联合平稳：

$EX(t)Y(t+\tau )=EX(t)\int X(t+\tau -u)h(u)du=\int E[X(t)X(t+\tau -u)]h(u)du=\int R_X(\tau -u)h(u)du=R_{XY}(\tau )$

类似的可以求得他们的互功率谱密度$P_{XY}(f)=P_X(f)H(f)$

三、平稳过程经过希尔伯特系统

希尔伯特变换是通信原理中的常用变换，在计算解析信号和复包络时经常会用到。下面我们来看平稳过程通过希尔伯特系统的输出有什么特殊性质。希尔伯特系统冲激响应$h(t)=1/\pi t$，传递函数$H(f)=-jsgn(f)$，因此容易知道输出平稳过程的功率谱密度不变：

$P_{\hat{X}}(f)=P_X(f)|H(f){|}^2=P_X(f)$

功率谱密度不变，自然也有自相关函数不变$R_{\hat{X}}(\tau )=R_X(\tau )$。再考虑输入输出的互功率谱密度：

$P_{\hat{X}X}(f)=P_X(f)H(f)=-jsgn(f)P_X(f)$

根据傅里叶变换的卷积特性，频域乘积对应时域卷积，因此有互相关函数：

$R_{X\hat{X}}(\tau )=R_X(\tau )\ast h(\tau )={\hat{R}}_X(\tau )$

之前我们学习过，希尔伯特变换会改变函数的奇偶性。由于实过程的自相关函数为偶函数：

$R_X(\tau )=EX(t)X(t+\tau )=EX(t-\tau )X(t)=R_X(-\tau )$
$R_{X\hat{X}}(\tau )=EX(t)\hat{X}(t+\tau )=EX(t-\tau )\hat{X}(t)=R_{\hat{X}X}(-\tau )$

则有${\hat{R}}_X(-\tau )=-{\hat{R}}_X(\tau )$，因此${\hat{R}}_X(0)=0$，输入输出随机过程在同一时刻不相关。

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总结

这篇介绍了平稳过程的线性不变性，并分析了平稳过程通过线性系统的输入输出的关系。最后考察了平稳过程通过希尔伯特系统所拥有的特殊性质。

目前讨论的均为零均值实随机过程，下一篇讲介绍复随机过程的分析方法。