1. 矩阵相乘-4种方式

1.1 C=AB

• 假设我们要求得矩阵C=AB ，可以用如下公式表示
  $$c_{ij}=\sum _{k=1}^N{a}_{ik}{b}_{kj}\text{\hspace{1em}(1)}$$

1.2 AX 列组合

• 将矩阵 A 用列表示
  $$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_n\end{array}\right] \\ {a}_i={\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1i}& a_{2i}\dots & a_{ni}\end{array}\right]}^T\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$
  $$B=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1p}\\ & & & \\ ⋮& ⋮& \dots & ⋮\\ & & & \\ b_{n1}& b_{n2}& \dots & b_{np}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$
• 那么C=AB中每一列的值$c_i$表示如下：
  $$c_i=a_1{b}_{1i}+a_2{b}_{2i}+\cdots +a_n{b}_{ni}\text{\hspace{1em}(4)}$$
  $$C=\left[\begin{array}{cccc}{c}_1& c_2& \dots & c_n\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$
• 小结： 矩阵C=AB 可以看成C中的每一列为A的列向量的组合。

1.3 XB 行组合

• 将矩阵 B 用行表示
  $$B=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ \\ b_2\\ \\ ⋮\\ \\ b_n\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(6)}$$
  $$b_i=\left[\begin{array}{ccc}{b}_{i1}& b_{i2}\dots & b_{ip}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(7)}$$
  $$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ & & & \\ ⋮& ⋮& \dots & ⋮\\ & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(8)}$$
• 那么C=AB中每一行的值$c_i$表示如下：
  $$c_i=a_{i1}{b}_1+a_{i2}{b}_2+\cdots +a_{in}{b}_n\text{\hspace{1em}(9)}$$
  $$C=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ \\ c_2\\ \\ ⋮\\ \\ c_m\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(10)}$$
• 小结： 矩阵C=AB 可以看成C中的每一行为B的行向量的组合。

2. A,AB,$A^T$的逆

3. 高斯消元法求$A^{-1}$