问题

股票买卖问题是动态规划中常考的题型，题目一般是给一个$prices$的数组，每个元素代表当天的股票价格，再给你一个$k$值，代表允许交易的最大次数，最终让你求出能获得的最大利润。

状态的定义与理解

状态定义

$dp[i][k][s]$

• $i$：第$i$天；
• $k$：交易的最大次数（这里有很多歧义，理解部分重点解释）；
• $s$：持有状态，0代表不持有，1代表持有。

举个例子，$dp[3][1][0]$代表在第三天，我至今最多进行了1次交易，现在没有持有的最大利润是多少。

状态转移函数

借用东哥的一个图理解下：

• $dp[i][k][0]=max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i)$
• 理解：当天不持有的最大利润 = $max$(前一天就不持有，前一天持有但是今天卖出了)
• $dp[i][k][1]=max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0]-prices[i])$
• 理解：当天不持有的最大利润 = $max$(前一天就持有，前一天不持有但是今天买入了)

这里有个细节是，$k$是在买入动作进行更新的。如果卖出的时候才更新，会出现超出交易次数的限制。

困惑

这里我最开始看对$k$的变化有个疑问：

为什么计算$dp[i][k][1]$的时候，认为前一天不持有的状态是$dp[i-1][k-1][0]$而不是$dp[i-1][k-1][0]$？

如果在$i$天买入后的交易次数上限是$k$，$i-1$天的交易次数上限不应该是$k+1$吗，怎么可能是$k-1$呢？

不得不说这个地方东哥在书里的一句描述给了我很大的误解：

思考

还是要回到$dp[i][k][s]$的定义上来，这个$k$代表的到底是什么？

• 理解1：按照东哥上面红框这个描述，我本来的理解是：到第$i$天，我还「剩下的最大交易次数」；❌
• 理解2：到第k天「已经进行的交易次数」；❌
• 理解3：到第k天为止「最多已经进行的交易次数」！✅ （其实在前文东哥举例子的时候是这么说的，但是后面改了个说法我就晕了…笨笨子）

为什么理解3就是通的呢？还是回到我最初的那个困惑：

为什么计算$dp[i][k][1]$的时候，认为前一天不持有的状态是$dp[i-1][k-1][0]$而不是$dp[i-1][k+11][0]$？

你想呀，如果是理解1（剩下的最大交易次数），今天买入交易了一次变成了$k$，那昨天剩下的次数一定比今天多一次才行，就应该是$dp[i-1][k+1][0]$。

如果是理解2，状态转移函数和最后的返回值就要大改了，显然不是一个合适的状态定义。

如果是理解3，一切就合乎情理了，本来题目说的也是最多允许交易$k$次，如果到第$i$天最多已经进行的交易次数是$k$，且在第$i$天我们进行了买入的操作，那么第$i-1$天当然最多已经进行的交易次数是$k-1$了。

反思

股票买卖题型我至少刷了3次了，竟然今天才产生这样的疑问，说明之前理解的并不透彻，更多是浮在表面的记忆层面，一味追求提交通过。希望后面的刷题之路中，多一点类似的深度思考，真正弄懂弄透，把刷题变成有趣的事情。

参考资料

1. 《labuladong的算法小抄》