一、概述

  本系列内容参考闵老师的博客：数学表达式: 从恐惧到单挑 (符号表)

  （1）数学表达式的几个注意事项：

• 公式这种说法具有误导性，应该用equation或者expression表示；
• 数学表达式的特点不是复杂，而是与文字相比起来简单准确；
• 数学表达式不是越难懂越好，而是越简洁易懂越好；

  （2）数学表达式学习建议：

• 建议最好找《离散数学》、《概率论与数理统计》、《机器学习》（西瓜书）等书籍模仿，其次是顶刊论文，一般论文不要看；
• 从简单到复杂；

  （3）一些准则：

• 提到“XXX 公式”时，提出者必须是大数学家；
• 提到“XXX 说”时，这个人的水平不能低于周志华（国际人工智能联合会理事会主席）；
• 不可将其他可视化工具写的数学表达式转换为latex；

二、符号表

2.1 常用符号表

  下表为符号常用表，在“ 文字 ”的两边加上“ $ ”符号即变成左边的符号（需要在markdown编辑器下添加，该模式写出的表达式的源码与Latex比较一致），还有一些符号需要逐步加入。

表2.1 常用符号表

符号	文字	涵义	备注
$x$	x	标量	小写字母
$\mathbf{x}$	\mathbf{x}	向量	小写字母
$\mathbf{X}$	\mathbf{X}	矩阵、集合	大写字母
${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}$	\mathbf{x}^{\mathrm{T}}	向量转置	T表示transpose

  注意：表示向量、集合等，可以使用粗体 \mathbf{x} ($\mathbf{x}$)，\bm{x} ($\mathbf{x}$)，\boldsymbol{x} ($\mathbf{x}$)。主要全文统一即可，建议使用\mathbf{x}。

2.2 希腊字母表

表2.2 希腊字母表

希腊字母小写、大写	LaTex形式	希腊字母小写、大写	Latex形式
$\alpha A$	\alpha A	$\mu N$	\mu N
$\beta B$	\beta B	$\xi \Xi$	\xi \Xi
$\gamma \Gamma$	\gamma \Gamma	$oO$	o O
$\delta \Delta$	\delta \Delta	$\pi \Pi$	\pi \Pi
$ϵ\epsilon E$	\epsilon \varepsilon E	$\rho \varrho P$	\rho \varrho P
$\zeta Z$	\zeta Z	$\sigma \Sigma$	\sigma \Sigma
$\eta H$	\eta H	$\tau T$	\tau T
$\theta \vartheta \Theta$	\theta \vartheta \Theta	$\upsilon {\rm Y}$	\upsilon \Upsilon
$\omega \Omega$	\omega \Omega	$\varphi \phi \Phi$	\phi \varphi \Phi
$\kappa K$	\kappa K	$\chi X$	\chi X
$\lambda \Lambda$	\lambda \Lambda	$\psi \Psi$	\psi \Psi
$\mu M$	\mu M	$\iota$	\iota

三、集合的表示与运算

  集合论是数学的基础，更是计算机的基础。在默认情况下，集合元素不可重复（在组合数学中有可重集的概念）。另外，集合元素是无序的。

3.1 集合的表示

  （1）枚举法：

   A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \mathbf{A}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 表示阿拉伯数字的集合；

   N = { 0 , 1 , 2 , … } \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\} N={0,1,2,…} 表示自然数的集合；

   Ω = { a , b , … , z } \mathbf{\Omega}=\{\textrm{a},\textrm{b},\dots,\textrm{z}\} Ω={a,b,…,z} 表示英文字母表的集合。其中，这里面的字母是非斜体的，表示不是变量。另外，未加“ $ ”符号的表达式为：\mathbf{\Omega} = {\textrm{a},\textrm{b},\dots,\textrm{z}}。有时候在\Omega之外没有加\mathbf，作为希腊字母的影响没有英文字母的影响大。

  （2） 表示向量、集合等，可以使用粗体 \mathbf{x} ($\mathbf{x}$)，\bm{x} ($\mathbf{x}$)，\boldsymbol{x} ($\mathbf{x}$)。主要全文统一，建议使用\mathbf{x}即可，西瓜书应该使用的是mathbf。

  （3）枚举法的几种简记：

• 如果是两个整数之间的枚举集合，可使用简记 [ 1..10 ] = { 1 , 2 , … , 10 } [1..10]=\{1,2,\dots,10\} [1..10]={1,2,…,10}，也可以使用变量如：$[\text{i}..\text{j}]$。注意：这里是两个点，而不是三个点的\dots。两个点多见于Pascal语言，更多内容请见：https://baike.baidu.com/item/%E5%8C%BA%E9%97%B4/1273117。
• 开区间（3, 5）表示大于3，小于5的所有实数；闭区间 [3, 5] 表示大于或等于3，小于或等于5的所有实数。（这是基础数学的内容，不仅限于离散数学的范畴。）
• X = { x i } i = 1 n = { x 1 , x 2 , … , x n } \mathbf{X}=\{x_{i}\}_{i=1}^{n}=\{x_1,x_2,\dots,x_n\} X={xi​}i=1n​={x1​,x2​,…,xn​} 表示集合有n个元素。该式子的源码为：\mathbf{X}={x_{i}}_{i=1}^{n}={x_1,x_2,\dots,x_n}。（x_2可以省略。）

  （4）谓词法：

  奇数的集合可以表示为：

   O = { x ∣ x ∈ N , x m o d 2 = 1 } = { x ∈ N ∣ x m o d 2 = 1 } \mathbf{O}=\{x|x\in\mathbb{N},x \mod 2=1\}=\{x\in\mathbb{N}\ |\ x \mod 2=1\} O={x∣x∈N,xmod2=1}={x∈N ∣ xmod2=1}.

  第一种表示方法最基础，将元素放在竖线的左边，元素满足的条件放在竖线的右边；第二种表示方法比较常用，将元素基本限制放在竖线左边，提升颜值。

  （5）常用集合：

• 实数 $\mathbb{R}$：源码为 \mathbb{R}. 有些地方也写成 $\mathcal{R}$ ，源码为 \mathcal{R}；
• 有理数 $\mathbf{Q}$：源码为 \mathbf{Q}；

  （6）平凡子集：

• 空集 $\varnothing$：源码为 \emptyset，不可以写为 $\varphi$，源码为 \phi，这是错误写法；
• 全集（universe） $\mathbf{U}$：这个一般在离散数学中使用，源码为\mathbf{U}；

3.2 元素与集合

• $x\in \mathbf{X}$：表示元素和集合的关系，源码为：x\in\mathbf{X}；
• $\mathbf{A}\subseteq \mathbf{B}$：表示集合与集合之间的关系，源码为：\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}；

3.3 集合的运算

• 集合的基数：
  $|\mathbf{X}|$：表示$\mathbf{X}$中元素的个数，其源码为：\vert \mathbf{X} \vert 或者 |\mathbf{X}|，这里不太清楚 \vert 和竖线的区别。其中，$|\varnothing |=0$
• 并：
  $\mathbf{X}\cup \mathbf{Y}$：表示两个集合的并，源码为：\mathbf{X} \cup \mathbf{Y}；
  ${\bigcup }_{i=1}^n{\mathbf{X}}_i$：表示n个集合的并，源码为：\bigcup_{i=1}^{n} \mathbf{X}{i}；
  这个方式与${\sum }_{i=1}^{n}i=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$是一致的，源码为：\sum{i=1}^n i=1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}；
• 交：
  $\mathbf{X}\cap \mathbf{Y}$：表示两个集合的交，源码为：\mathbf{X} \cap \mathbf{Y}；
  ${\bigcap }_{i=1}^n{\mathbf{X}}_i$：表示几个集合的交，源码为：\bigcap_{i=1}^{n} \mathbf{X}_i；
• 差：
  $\mathbf{X}\setminus \mathbf{Y}$：表示两个集合的差，源码为：\mathbf{X} \setminus \mathbf{Y}，setminus是专门为集合设计的，使用减号显得不够专业；
• 补：
  $\overline{\mathbf{X}}=\mathbf{U}\setminus \mathbf{X}$：表示为$\mathbf{X}$的补集，这里$\mathbf{U}$为全集，源码为：\overline{\mathbf{X}}=\mathbf{U} \setminus \mathbf{X}；有时候式子用了\overline会比较难看，也可以使用$\neg \mathbf{X}$，源码为：\neg \mathbf{X}，但是\neg是逻辑运算的符号，表示“非”，只能是凑合使用；

3.4 幂集

  幂集（power set）表示为 2 A = { B ∣ B ⊆ A } 2^{\mathbf{A}}=\{\mathbf{B}\vert\mathbf{B}\subseteq\mathbf{A}\} 2A={B∣B⊆A}，源码为：2^{\mathbf{A}} = {\mathbf{B} \vert \mathbf{B} \subseteq \mathbf{A}}。

  例如： A = { 0 , 1 , 2 } \mathbf{A}=\{0,1,2\} A={0,1,2}，则 2 A = { ∅ , { 0 } , { 1 } , { 2 } , { 0 , 1 } , { 0 , 2 } , { 1 , 2 } , { 0 , 1 , 2 } } 2^{\mathbf{A}}=\{\emptyset,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\} 2A={∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}，源码为：2^{\mathbf{A}}={\emptyset,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}；

  其中，$|2^{\mathbf{A}}|=2^{|\mathbf{A}|}=2^3=8$，源码为：\vert2^{{\mathbf{A}}\vert=2}{\vert \mathbf{A} \vert}=2^3=8；从基本的组合数学知识可知，若一个集合有$n$个元素，要么全选，要么不选，相当于$n$位二进制数，所以有$2^n$中可能，这也是幂集的来由。

• $\mathbf{B}\subseteq \mathbf{A}$（源码为\mathbf{B}\subseteq\mathbf{A}） 与 $\mathbf{B}\in 2^{\mathbf{A}}$（源码为\mathbf{B}\in2^{\mathbf{A}}）等价，并且后者看起来把简单的问题复杂化，但是在一些特殊情况下是有用的。
• 一般而言，只讨论有穷集的密集，不考虑无穷极的密集。在空闲时候可以思考：$|2^{\mathbb{N}}|=|\mathbb{R}|$（源码为：\vert 2^{\mathbb{N}} \vert=\vert \mathbb{R} \vert），表示2的可数无穷次方为一阶不可数无穷。

3.5 笛卡尔积

  笛卡尔积表示为：$\mathbf{A}\times \mathbf{B}=\{(a,b)|a\in \mathbf{A},b\in \mathbf{B}\}$，源码为：\mathbf{A} \times \mathbf{B}={(a,b)\vert a \in \mathbf{A},b \in \mathbf{B}}；

• 相当于一个集合中各选一个元素出来，然后组成一个新的元素对；
• 元素对是有序的，$(a,b)\ne (b,a)$（源码为(a,b)\ne(b,a)），因此$\mathbf{A}\times \mathbf{B}\ne \mathbf{B}\times \mathbf{A}$（源码为\mathbf{A} \times \mathbf{B} \ne \mathbf{B} \times \mathbf{A}）。其中，\ne 是not equal的简写，也可以写为\neq；
• $\varnothing \times \mathbf{B}=\varnothing$，空集无元素，源码为：\emptyset \times \mathbf{B}=\emptyset；
• 对于有穷集合（不考虑无穷集合），$|\mathbf{A}\times \mathbf{B}|=|\mathbf{A}|\times |\mathbf{B}|$，源码为\vert \mathbf{A} \times \mathbf{B} \vert=\vert \mathbf{A} \vert \times \vert \mathbf{B} \vert，当这两个元素有一个为空集的时候，本式也成立；
• 一维数据所在的空间为$\mathbb{R}$（\mathbb{R}），二维数据所在的空间为$\mathbb{R}\times \mathbb{R}={\mathbb{R}}^2$（\mathbb{R} \times \mathbb{R}=\mathbb{R}^{2），三维数据的空间为$\mathbf{R}^3$（\mathbf{R}}3），以此类推，$n$维数据的空间为${\mathbf{R}}^n$；

3.6 作业

• 令 A = { 3 , 5 } \mathbf{A}=\{3,5\} A={3,5}，写出$2^{\mathbf{A}}$

   2 A = { ∅ , { 3 } , { 5 } , { 3 , 5 } } 2^{\mathbf{A}}=\{\emptyset,\{3\},\{5\},\{3,5\}\} 2A={∅,{3},{5},{3,5}}，源码为：2^{\mathbf{A}}={\emptyset,{3},{5},{3,5}}。

• 展开$2^{\varnothing }$

   2 ∅ = { ∅ , { ∅ } } 2^\emptyset\ =\{\emptyset\ , \{\emptyset\}\} 2∅ ={∅ ,{∅}}，源码为：2^\emptyset\ ={\emptyset\ , {\emptyset}}。

• 令 A = { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \mathbf{A}=\{5,6,7,8,9\} A={5,6,7,8,9}，写出$\mathbf{A}$的其它两种表示方法

  $\mathbf{A}$的另外两种表示方法如下：

1. 枚举法： A = { 5 , 6 , … , 9 } \mathbf{A}=\{5,6,\dots,9\} A={5,6,…,9}，源码为：\mathbf{A}={5,6,\dots,9}；
2. 区间表示法： A = { x ∈ N ∣ 5 ≤ x ≤ 9 } \mathbf{A}=\{x\in\mathbb{N}\ \vert \ 5\leq x \leq 9\} A={x∈N ∣ 5≤x≤9}，源码为：\mathbf{A}={x \in \mathbb{N} \vert 5 \leq x \leq 9}；