【NOIP 2015 普及组】金币

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题目描述
思路分析
评价

题目描述

国王将金币作为工资，发放给忠诚的骑士。第一天，骑士收到一枚金币；之后两天（第二天和第三天）里，每天收到两枚金币；之后三天（第四、五、六天）里，每天收到三枚金币；之后四天（第七、八、九、十天）里，每天收到四枚金币 $\dots$ 这种工资发放模式会一直这样延续下去：当连续 $n$ 天每天收到 $n$ 枚金币后，骑士会在之后的连续 $n + 1$ 天里，每天收到 $n + 1$ 枚金币（ $n$ 为任意正整数）。

你需要编写一个程序，确定从第一天开始的给定天数内，骑士一共获得了多少金币。

时间限制：1 s
内存限制：128 MB

输入
一个正整数，表示天数。范围 $1$ 到 $10000$ 。
输出
骑士获得的金币数。
样例输入
```
6
```
样例输出
```
14
```

思路分析

乍看之下，此题可以用双层循环来解决。这里没有什么理论分析，我们直接讲代码。

首先定义一个计数器变量 coin，初始值为 $1$ ，用于表示每天需要发放给骑士的金币数量。另设一个累加器变量 total，初始值为 $0$ ，用于表示骑士获得的金币总数。

然后用外层循环来记录已发放金币的总天数，用内层循环来发放金币，当然了，内层循环也需要控制已发放金币的总天数。具体来讲，每发放一次金币，就需要累加一天。在下面的代码中，变量 i 和 day 都是用来记录天数的，i 用来记录 coin 枚金币发放的天数，day 用来记录已发放金币的总天数。每当内层循环结束之后，coin 的值需要加一。

/** Name: coin1.cpp* Problem: 金币* Author: Teacher Gao.* Date&Time: 2024/03/07 23:26*/#include <iostream>using namespace std;int main()
{int n;cin >> n;int total = 0, coin = 1;for (int day = 1; day <= n; ) {for (int i = 1; i <= coin && day <= n; i++) {total += coin;day++;}coin++;}cout << total << endl;return 0;
}

仔细研究题目描述之后，不难发现国王每天给骑士发放的金币熟练呈现如下规律：
$\begin{matrix} 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 5 & 5 & ... \end{matrix}$

也就是说，金币总数为 $total = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + d$ ，其中 $d$ 的值需要分情况讨论。这个式子表明，国王已经发放了 $\frac{k \times (k + 1)}{2}$ 天的金币。若 $n = d a y$ ，那么接下来就不需要发放金币了，即 $d = 0$ 。否则，剩余的 $n - d a y$ 天国王每天需要给骑士发放 $k + 1$ 枚金币，那么 $\times (k + 1)$ ，这里我们假设 $n - d a y < k + 1$ 。

于是，我们可以用一个循环来枚举 $k$ ，并用 $d a y$ 与 $n$ 的大小来控制循环。具体来说，若 $\le n$ （事实上， $d a y < n$ 也是正确的，请自行分析），那么就将 $k^2$ 累加到 $t o t a l$ 中，否则就结束循环。并在循环结束后，将 $\times (k + 1)$ 累加到 $t o t a l$ 中。

分析到此就先告一段落。接下来我们讲讲代码中的细节，我们用变量 n 不断地减去 k，来代替每次将 k 累加到 day 中。于是循环条件可以写成 k <= n（写成 k < n 也是正确的，可以自行分析），(n - day) * (k + 1) 可以写成 n * k。之所以写成 n * k 而不是 n * (k + 1)，是因为在代码中我们将 k 的初始值设为了 $1$ ，并且在累加完 total 之后才进行 k++，也就是说每次循环结束后，k 的值都是下一次需要发放的金币数量。此外，这种写法也导致了 n -= k 和 k++ 两行代码的顺序不能调换，若要调换，则需把 n -= k 改写为 n -= k - 1。

/** Name: coin2.cpp* Problem: 金币* Author: Teacher Gao.* Date&Time: 2024/03/07 23:30*/#include <iostream>using namespace std;int main()
{int n;cin >> n;int total = 0, k = 1;while (k <= n) {total += k * k;n -= k;k++;}total += n * k;cout << total << endl;return 0;
}

基于上述分析，我们可以得到不等式 $\frac{k \times (k + 1)}{2} \le n$ ，即 $^2 + k - 2 n \le 0$ 。用求根公式可以求得方程 $x^2 + x - 2 n = 0$ 的正根 $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{1 + 8 n}}{2}$ ，于是 $\lfloor x_1 \rfloor$ 。

求出 $k$ 之后，只需求出 $total = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + d$ 即可，其中 $\times (k + 1)$ 。至于 $\sum_{i = 1}^{k} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2$ ，可以用公式 $\sum_{i = 1}^{k} i^2 = \frac{n \times (n + 1) \times (2n + 1)}{6}$ 直接求出，该求和公式可以参考博主的博文关于和式的探讨（4）—— 一般性的方法。不过需要注意下面程序中对此公式的改写，主要目的是为了防止计算过程的溢出。

/** Name: coin3.cpp* Problem: 金币* Author: Teacher Gao.* Date&Time: 2024/03/07 23:38*/#include <iostream>
#include <cmath>using namespace std;int main()
{int n;cin >> n;int k = (sqrt(1 + 8 * n) - 1) / 2;int total = k * (k + 1) / 2 * (2 * k + 1) / 3;total += (n - k * (k + 1) / 2) * (k + 1);cout << total << endl;return 0;
}

评价

此题的优秀之处在于，融合了诸如一元二次方程、向下取整等数学知识的同时，也确保了那些数学基础较弱的选手通过循环嵌套的方式进行求解。

不过循环嵌套的代码并没有那么容易写清楚。博主在教学过程中发现，绝大多数学生可以想到循环嵌套的方式，其中一部分学生会发现该程序只能计算诸如 $n = 1, 3, 6, 10, ...$ 之类的三角形数的答案，当 $n$ 的值介于两个三角形数之间时，即 $\le k$ 时，计算结果总是 $k$ 对应的结果。这是因为内层循环没有控制变量 day 的值，以至于 day 的值会超出 $n$ 的范围。