fliplr函数

其中fliplr函数为flip array left to right，此处fliplr(i)的输出结果为[4 3 2 1]

我的代码实验

area1 = fill(i,u_up(i),'cyan','FaceAlpha',0.3);

把我都弄得无语了，就实现fill怎么这么难 

真是不知道向量长度哪里不同，知道了哈哈

终于成功，流下激动的泪水，调试真的好有用，哈哈哈，我爱断点调试

小乌龙

成功

patch([x fliplr(x)],[y1 fliplr(y2)], [0.93333, 0.83529, 0.82353],'edgealpha', '0', 'facealpha', '.5')

代码理解的差不多了，还有一些细小的点需要理解。 

TSRO问题

C&CG本质上是一种基于BD的改进算法;

在第二阶段优化中，采用原始切割代替弯管机双切割平面，带来如下效果:

1. 从属问题可以严格识别C&CG中的有效场景，但BD需要对场景中的第一阶段变量进行更多的迭代计算
2. C&CG保证了主问题的结构与原模型保持一致，但双切割使得BD无法直接使用原结构，这有助于C&CG与BD相比减少迭代

强对偶性 

论文阅读

2.1.1 从问题 Slave Problem

对于Max-Min双层从属问题，由于y只包含连续变量，因此满足强对偶性，则双层从属优化等价于单层Max问题：

式中，a表示(3)的对偶变量，x*表示主问题的最优x。目标中的aT*u项导致了一个难以求解的非线性问题。

但考虑到U是一个离散或多面体集合，其中U为[0,1]内的二元变量或独立连续变量，则最优u必须是U的边界，即最优u为0或1。

在这种情况下，aT*u是双线性的，大m方法可以将aT*u线性化，从而将(4)转化为可以直接求解的线性模型。线性化过程可以在文献[43]中找到。

2.1.2 Master problem 主问题

将从问题的第k个最优结果(uk, yk)代入后，主问题表示为:

其中l表示当前迭代，一个新的变量h将从问题的耦合目标引入到主问题中。

将主问题中的最优x*作为已知参数代入从问题，对主、从问题进行交替优化。当U有有限个极值点时，C&CG总是在少量迭代中收敛到最优值。

2.1.3 Solution procedure 求解步骤

使用 C&CG 的标准 TSRO 模型的具体求解过程为：

初始化：设置x0 作为主问题的可行解，当前迭代次数l = 1，设定收敛阈值ε，将x0代入从问题中得到最优(ul, yl)。

2.2 变体 TSRO 和解决方案 

        即使标准 TSRO 可以解决电力系统中的众多不确定性调度问题，但在一些新情况下，该模型仍然难以有效运用。因此，学者们根据实际需求对标准模型和求解算法进行了必要的改进，极大地拓宽了TSRO模型的应用维度，提高了TSRO模型在电力系统优化调度中的实用价值。 

2.2.1. V1：具有混合整数追索权的 TSRO

        在标准 TSRO 中，y 仅代表连续变量。这时，从问题的对偶性就可以得到有效的发挥。然而，随着电力技术的进步，更多的用电设备的状态变量可以在不确定性后的运行中实现快速自适应调整，例如储能（ES）的充放电状态、逆变器的转换方向等[44]。在这种情况下，TSRO的第三层应该包含连续变量和二元变量。因此，标准 TSRO 升级为以下具有混合整数追索变量的变体模型（V1）[45]。 

其中z为V1中的三级二元变量，其他参数与标准模型中的含义类似。引入的二进制数z阻碍了最大-最小从问题转化为单层问题。

因此，研究人员相应地针对这种变体问题开发了一种改进的算法，即嵌套C&CG[46]。 Nested-C&CG进一步将Max-Min从属问题分解为具有内部主问题和内部从问题的两阶段迭代过程，从而存在外部和内部C&CG过程的嵌套。其详细流程可以参考参考文献 [47]。

2.2.2. V2：具有解耦目标的 TSRO

        标准TSRO将第一阶段和第二阶段的总目标作为最优函数，通常称为最坏场景目标。实际上，运营商在这两个阶段所关注的目标可能是不同的。例如，在N-k停电[48]或微电网（MG）孤岛[49]不确定性出现之前，系统运营商关注的是运行经济性，而当不确定性显现时，负荷满意率可能上升为主要目标，甚至在某些情况下，第二阶段可能仅用作安全或可行性检查。此时，TSRO中单一的最坏场景目标已经不适用，必须合理分解两阶段以满足不同的目标要求[50,51]。因此，提出以下变体TSRO模型（V2）来解决上述问题。

        中各参数含义与(6)类似，此处不再赘述。与(6)相比，该变体模型的本质没有改变。因此，也可以通过nested-C&CG来解决。但在每次迭代中，应将一组新的 y 和 z 作为变量引入到主问题中以获得最佳 u*。如果运营商仅在不确定性之后对调度计划进行可行性检查，则第二阶段优化的目标可以限制在定义的范围内，例如功率不平衡为零。因此，第二阶段的目标可以根据实际需要灵活设定。

2.2.3. V3：分布式 TSRO

        上述 TSRO 模型忽略了不确定性的概率分布，并简单地假设所有不确定性场景均匀分布。然而现实中场景发生的概率是不同的，如何利用不确定性分布来增强优化效果已成为研究热点。尽管在工程中准确地完成不确定性的概率分布函数仍然很困难，但通过数据分析可以提取一些有价值的分布参数，例如方差和置信概率[52]。为了有效地利用这些信息，学者们利用了分布式 TSRO 模型（V3）： 

• 其中 f(u) 是 u 的分布函数。
• T（Tao） 表示不确定由分布参数构造的 f(u) 的包含集，它包含所有可能的不确定性分布。
• 其余参数与(6)中的含义一致。
• 与上述模型不同的是，V3的第二阶段旨在优化最差f(u)下的预期目标。

        分布式 TSRO考虑到f(u)更加复杂，并且该模型难以求解。事实上，它的求解算法取决于具体的形式T（Tao）。所有这些算法仍然是传统方法的扩展BD 或 C&CG，嵌入了一些富有成效的方法将与 f(u) 和 T（Tao）相关的项转换为易于求解的样式。目前，学者们已经开发出了一些相应的算法T（Tao）的几种形式，更详细的解释在第 3.3 节。

 2.3 TSRO模型和解决方案的比较和讨论

        根据求解算法，上述TSRO模型中两阶段的相互作用可以统一表示为图1。

        在 TSRO 模型中，每个阶段都有自己的目标。如图1所示，第一阶段是一个Min优化问题，其目标是在不确定性之前最小化操作指标，并将最优结果传递给第二阶段。第二阶段是Max-Min优化问题，确定最坏情况下运行指标最小的计划。最坏的场景作为对第一阶段削减约束的返回，从而保证了第一阶段计划在任何场景下的可行性。

        在前面描述的基础上，表2进一步讨论了各种TSRO模型，并指出了不同模型的特点和适用场合。

        基于上述两阶段迭代求解框架，一些学者考虑使用人工智能（AI）方法来处理大规模TSRO调度问题，以有效减少计算时间。在参考文献[53]中，使用深度神经网络来近似负载和发电机输出之间的映射，从而为每次迭代获得高质量的可行解。此外，参考文献中分别设计了深度神经网络和深度卷积神经网络。 [54]以无模型的方式找到TSRO模型的最优结果。 TSRO本质上是一个由Min和Max-Min优化组成的多目标问题，但它也不同于传统的多目标问题。

        事实上，TSRO中有一定的优化顺序，即在Min优化的基础上进行Max-Min优化。因此，将Max-Min问题作为第一阶段Min问题的约束，两个问题形成主从关系的双层优化结构。综上所述，总体优化目标分为两阶段目标，即leader-follower双层优化框架。此外，也有研究者将SO（stage optimization）与上述各种模型分别结合起来，以提高纯RO（robust optimization ）模型的优化效果。主要思想是通过权重系数来制定目标。

        由于混合模型不改变其公式形状，因此不同的随机TSRO模型以其原始RO模型进行分类。目前常用的模型有两种，即USRO[87]和CRSO[131]。对于两种不同的模型类型，如何确定权重系数是一个至关重要的问题。客观权重的敏感性分析见文献 [87]。事实上，系统操作员可以根据他们对随机和/或鲁棒优化方法的偏好来调整目标函数中的权重。对于CRSO，可以采用每个不确定性区间的发生概率来对随机不确定性下的目标进行权衡[131]，从而提高传统单区间集的保守性。

3 不确定性集的建模方法

        除了公式结构和求解方法之外，不确定性建模是RO的核心，它关键决定了最优结果的保守性。因此，构造更精确的不确定性集是RO的关键技术。目前，不确定性集的建模已经形成了一些富有成效的方法。本节重点分析这些方法在电力系统鲁棒优化运行中的作用，从而突出各种不确定性集的技术效应，为后续研究提供基础。 

3.1.传统多面体集

        多面体集是TSRO中应用最广泛的不确定性集，它可以很好地表征电力系统中的连续不确定性因素，如源荷功率、电价等。常见的表述为：

        其中，wt、w*t、wt+、wt-分别为t时段内不确定性的实际值、预测标称值、上偏差值和下偏差值。引入参数εt+和εt-来定义区间[w*t - wt-， w*t + wt+]内的不确定性，Nt为总周期。pi_w为不确定性的周期预算，可以通过调整来控制RO的保守性。确实需要合理选择pi_w，参考文献[64]给出了其选择原则。

        文献[109,110]采用偏差预算来控制保守性，但这种集合本质上没有改变，在此不再赘述。

        图2显示了在TSRO调度中使用传统多面体集时最坏情况下的光伏功率。如图2所示，对于传统的多面体集合，最优的最坏情况在某些时期总是分布在区间边界上。事实上，传统的多面体集忽略了时间和空间上的不确定性的分布相关性，这可能导致不可能的最坏情况和保守的结果。

3.2.数据驱动的多面体集 

        为了获得更真实的不确定性集，学者们考虑了基于数据驱动理论的时空分布特征的不确定性建模，极大地促进了传统多面体集的发展。

        参考文献[79,80,179]采用具有线性约束的动态加权集来描述时空相关性。在参考文献[81,94,95]中提出了多频带不确定性集，引入了两个预算来限制空间和时间相关性。多面体集的预算是根据参考文献 [132,133]中的多区间偏差和概率进行分割的，这避免了最坏的情况达到区间的最大偏差。基于历史数据分析，预测偏差的协方差矩阵在参考文献 [82]中获得，建立了一种新颖的多面体集来体现时空相关性。在参考文献 [84]中引入了对偏差的线性预算约束，在构造多面体集时表示相邻时期历史不确定性序列的时间相关性。在参考文献[98]中，通过最小二乘回归方法提取风电历史偏差的时间相关系数和方差，构建多面体集。此外，还开发了一些人工智能方法来构建数据驱动的不确定性集。在参考文献[55,83]中分别采用了包括核密度估计和狄利克雷过程混合模型在内的机器学习方法，准确地提取不同类型的不确定性信息，并形成数据驱动的多面体集以增强对测量数据的包裹能力。参考文献[56]中的作者使用最近开发的深度学习模型（称为归一化流）来生成可再生不确定性的分位数预测。

        一般来说，数据驱动的多面体集通过线性约束或凸包反映不确定性的时空相关性（如图3所示），但不影响RO的结构。

根据图3，历史场景被紧密地包裹在数据驱动的多面体集合中，从而消除了传统多面体集合与历史场景之间的差距，并极大地避免了不切实际的场景。由于内部从属的最小化是凸函数，多面体集合的一个顶点是最优解。因此，外部从属的最大化中的数据驱动多面体集合可以等价于其凸包的有限顶点，这满足C&CG的收敛命题。因此，其对RO的改进显得简单而有效。

4.电力系统中的TSRO调度问题 

         2012年前后，学者们开始开展电力系统TSRO调度研究，目前已取得了一些成果。在这一部分中，4.1-4.4节回顾了TSRO在电力系统UC、ED、PQ、RD方面的工作，具体内容汇总在表5中。然后，在4.5节中对这些问题进行了比较分析，从多个角度进一步讨论了其应用效果和局限性。

4.1. Unit commitment problem 机组组合问题（UC）

        UC是电力系统中具有代表性的数学优化问题，旨在以最小的总成本确定发电机的运行状态。由于有些机组不能快速、灵活地启停，特别是在传输网络中，运营商应提前（日前）进行UC。但有些日内信息无法提前准确预测，如源荷功率、随机故障等。因此，在UC问题中应考虑这些不确定性，以保证UC计划在实际操作中具有一定的可靠性。学者们将UC与TSRO有机结合起来，部署了TSRO UC研究，这也是电力系统领域最早引入TSRO的方向。