P6 条件概率

一.条件概率

1.Def：设A、B是两个事件，且$P(A)>0$，称
$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

$注意：这里样本空间已经从S坍塌到A了，样本空间减小。$

2.条件概率满足条件（也是概率）

已知事件A发生且P（A）>0

• 非负性：对于每一件事件B，有$P(B|A)⩾0$。

• 规范性：对于必然事件S，有$P(S|A)=1$。

• 可列可加性：设$B_1,B_2,\dots$是两两互不相容事件，则有

$$P(\bigcup _{i=1}^{\infty }{B}_i|A)=\sum _{i=1}^{\infty }P(B_i|A)$$

3.条件概率的性质：当P（A）> 0时

• $P(B|A)⩾0$​
• 有限可加性：$P(\bigcup _{i=1}^n{B}_i|A)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i|A)$
• $P(S|A)=0,P(\varnothing |A)=0$
• 加法公式:$P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)-P(BC|A)$
• 当B、C互不相容时，$P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)$
• 可减性：$P(B-C|A)=P(B|A)-P(BC|A)$
• $P(\bar{B}|A)=1-P(B|A)$​

二.乘法定理

1.Def：设P（A）> 0，P（B）> 0 ，则有
$$P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B)$$
称为乘法公式。

2.推广

• 三个事件A、B、C，且P（AB）> 0[$P(A)⩾P(AB)>0$].

$$P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)$$

• n（$n⩾2$）个事件$A_1,A_2,\dots A_n$，且$P(A_1{A}_2\dots A_{n-1})>0$，则有

$$P(A_1{A}_2\dots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2{A}_1)\dots P(A_n|A_{n-1}\dots A_2{A}_1)$$

• 注意事件发生的先后次序，$A_i$先于$A_{i+1}$​发生，可用上式。

三.全概率公式 & 贝叶斯公式

3.1 全概率公式（由因求果）

1.样本空间划分：设S为试验E的样本空间，$B_1,B_2,\dots ,B_n$为E的一组事件，若

• $B_i{B}_j=$∅，$i\ne j,i,j=1,2,\dots ,n$
• $B_1\cup B_2\cup \dots \cup B_n=S$

则称$B_1,B_2,\dots ,B_n$为样本空间S的一个划分（也叫完备事件集）。

$注意:$①若$B_1,B_2,\dots ,B_n$为样本空间S的一个划分，则对每次试验，事件$B_1,B_2,\dots ,B_n$中必有一个且仅有一个发生。

​ ②样本空间的划分一般不唯一。

2.全概率公式：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，$B_1,B_2,\dots ,B_n$为S的一个划分，且$P(B_i)>0(i=1,2,\dots ,n)$，则
$$P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\dots +P(A|B_n)P(B_n)=\sum _{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)$$

3.2 贝叶斯公式（由果导因）

1.Def：设试验E的样本空间为S。A为E的事件，$B_1,B_2,\dots ,B_n$为S的一组划分，且P（A）> 0，$P(B_i)>0(i=1,2,\dots ,n)$，则
$$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum _{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)}$$
称为贝叶斯公式。

2.全概率 & 贝叶斯

取n=2，并将$B_1$记为$B$，$B_2$记为$ \bar{B}$，则全概率公式和贝叶斯公式可以写成：
$$P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})——全概率公式$$

$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})}——贝叶斯公式$$