算法的时间复杂度和空间复杂度(数据结构)

本博客讲解算法的时间复杂度和空间复杂度的来源及定义,时间复杂度的表示及练习。空间复杂度的计算会在后续博客讲解
 

算法的复杂度


  算法在编写成可执行程序后,运行时需要耗费时间资源空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏,一般是从时间空间两个维度来衡量的,即时间复杂度空间复杂度
  时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢,而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期,计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展,计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

时间复杂度的概念


  时间复杂度的定义:在计算机科学中,算法的时间复杂度是一个函数,它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间,从理论上说,是不能算出来的,只有你把你的程序放在机器上跑起来,才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗?是可以都上机测试,但是这很麻烦,所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例,算法中的基本操作的执行次数,为算法的时间复杂度
即:找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式,就是算出了该算法的时间复杂度。

大O的渐进表示法


大O符号(Big O notation):是用于描述函数渐进行为的数学符号。
一、推导大O阶方法:
  1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
  2、在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
  3、如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后,Func1的时间复杂度为:
  N = 10 F(N) = 100
  N = 100 F(N) = 10000
  N = 1000 F(N) = 1000000
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项,简洁明了的表示出了执行次数。


二、另外有些算法的时间复杂度存在最好平均最坏情况:
 最坏情况:任意输入规模的最大运行次数(上界)
 平均情况:任意输入规模的期望运行次数
 最好情况:任意输入规模的最小运行次数(下界)


例如:在一个长度为N数组中搜索一个数据x
 最好情况:1次找到
 最坏情况:N次找到
 平均情况:N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况,所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

让我们在实例中找到相应算法的时间复杂度

实例1:

// 计算Func2的时间复杂度?
void Func2(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}

实例2:

// 计算Func3的时间复杂度?
void Func3(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < M; ++ k){++count;}for (int k = 0; k < N ; ++ k){++count;}printf("%d\n", count);
}

实例3:

// 计算Func4的时间复杂度?
void Func4(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 100; ++ k){++count;}printf("%d\n", count);
}

实例4:

// 计算strchr的时间复杂度?
const char * strchr ( const char * str, int character );

答案:

1. 实例1基本操作执行了2N+10次,通过推导大O阶方法知道,时间复杂度为 O(N)
2. 实例2基本操作执行了M+N次,有两个未知数M和N,时间复杂度为 O(N+M)
3. 实例3基本操作执行了10次,通过推导大O阶方法,时间复杂度为 O(1)
4. 实例4基本操作执行最好1次,最坏N次,时间复杂度一般看最坏,时间复杂度为 O(N)

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