基本思想

贪心算法通常包含以下关键步骤：

找到可选的子问题： 首先，将原问题拆分成一系列可选的子问题或决策。

找到局部最优解： 对每个子问题，找到一个局部最优解。这个局部最优解应该是一个贪心选择，即在当前状态下选择最优的方式。

合并子问题的解： 将各个子问题的局部最优解合并起来，得到原问题的解。

检查解的有效性： 最后，检查得到的解是否满足问题的约束和要求。如果满足，就认为得到了问题的解。

贪心算法适用于一些特定类型的问题，通常要求问题具有贪心选择性质（即每一步的选择都是最优的），以及最优子结构性质（即问题的最优解可以通过子问题的最优解推导得出）。然而，贪心算法不一定能够求解所有问题，有些问题可能需要更复杂的算法来解决。

经典的贪心算法问题有找零钱问题、活动选择问题、背包问题中的部分背包等。贪心算法在求解这些问题时，通常能够得到接近最优解的结果，但并不保证一定能够得到全局最优解。

总之，贪心算法是一种基于每一步的局部最优选择来求解问题的思想，适用于一些满足贪心选择性质和最优子结构性质的问题。

一）概念

贪心算法（Greedy Alogorithm）又叫登山算法，它的根本思想是逐步到达山顶，即逐步获得最优解，是解决最优化问题时的一种简单但是适用范围有限的策略。

贪心算法没有固定的框架，算法设计的关键是贪婪策略的选择。贪心策略要无后向性，也就是说某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。

贪心算法是对某些求解最优解问题的最简单、最迅速的技术。某些问题的最优解可以通过一系列的最优的选择即贪心选择来达到。但局部最优并不总能获得整体最优解，但通常能获得近似最优解。

在每一步贪心选择中，只考虑当前对自己最有利的选择，而不去考虑在后面看来这种选择是否合理。

二）找出全局最优解的要求

在遇见问题时如何确定是否可以使用贪心算法解决问题，那么决定一个贪心算法是否能找到全局最优解的条件是什么呢？其实就是以下两点：

• 最优子结构（optimal subproblem structure,和动态规划中的是一个概念）
• 最优贪心选择属性（optimal greedy choice property）

三）求解时应考虑的问题

1.候选集合S
为了构造问题的解决方案，有一个候选集合C作为问题的可能解，问题的最终解均取自于候选集合C。
2.解集合S
随着贪心选择的进行，解集合不断扩展，直到构成一个满足问题的完整解。
3.解决函数solution
检查解集合是否构成问题的完整解。
4.选择函数select
即贪心策略，这是贪心算法的关键，它指出哪个候选对象有希望构成成问题的解。
5.可行函数feasible
检查解集合中加入一个候选对象是否可行，即解集合扩展后是否满足约束条件。

四）基本步骤

贪心算法使用基本步骤：
1.从问题的某个初始解出发
2.采用循环语句，当可以向求解目标前进一步时，就根据局部最优策略，得到一个部分解，缩小问题的范围或规模。
3.将所有的部分解综合起来，得到问题的最终解。

五）贪心策略选择

贪心算法的原理是通过局部最优来达到全局最优，采用的是逐步构造最优解的方法。在每个阶段，都做出一个看上去最优的，决策一旦做出，就不再更改。

要选出最优解可不是一件容易的事，要证明局部最优为全局最优，要进行数学证明，否则就不能说明为全局最优。

很多问题表面上看来用贪心算法可以找到最优解，实际上却把最优解给漏掉了。这就像现实生活中的“贪小便宜吃大亏”。所以我们在解决问题的时候，一定要谨慎使用贪心算法，一定要注意这个问题适不适合采用贪心算法。

贪心算法很多时候并不能达到全局最优，为什么我们还要使用它呢？

因为在很多大规模问题中，寻找最优解是一件相当费时耗力的事情，有时候付出大量人力物力财力后，回报并不与投入成正比。在这个时候选择相对最优的贪心算法就比较经济可行了。有的问题对最优的要求不是很高，在充分衡量付出和回报后，选择贪心算法未尝不是一种不错的选择呢。

六）实际应用

1.零钱找回问题

这个问题在我们的日常生活中就更加普遍了。假设1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元的纸币分别有c0, c1, c2, c3, c4, c5, c6张。现在要用这些钱来支付K元，至少要用多少张纸币？用贪心算法的思想，很显然，每一步尽可能用面值大的纸币即可。在日常生活中我们自然而然也是这么做的。在程序中已经事先将Value按照从小到大的顺序排好。
下面展示一些 内联代码片。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=7; 
int Count[N]={3,0,2,1,0,3,5};
int Value[N]={1,2,5,10,20,50,100};int solve(int money) 
{int num=0;for(int i=N-1;i>=0;i--) {int c=min(money/Value[i],Count[i]);money=money-c*Value[i];num+=c;}if(money>0) num=-1;return num;
}int main() 
{int money;cin>>money;int res=solve(money);if(res!=-1) cout<<res<<endl;else cout<<"NO"<<endl;
}

2.背包问题

#include<iostream>   
using namespace std;   
const int N=4;  
void knapsack(float M,float v[],float w[],float x[]);  int main()  
{  float M=50;//背包所能容纳的重量   float w[]={0,10,30,20,5};//每种物品的重量  float v[]={0,200,400,100,10};  //每种物品的价值 float x[N+1]={0};  //记录结果的数组 knapsack(M,v,w,x);  cout<<"选择装下的物品比例："<<endl;  for(int i=1;i<=N;i++) cout<<"["<<i<<"]:"<<x[i]<<endl;  
}  void knapsack(float M,float v[],float w[],float x[])  
{  int i;  //物品整件被装下  for(i=1;i<=N;i++){  if(w[i]>M) break;   x[i]=1;  M-=w[i];  }   //物品部分被装下  if(i<=N) x[i]=M/w[i];   
} 

3.哈夫曼编码

4.单源路径中的Djikstra算法

求A到其他节点的最短路径：

维护三个东西，从A到其他节点的路径长度队列Queue，数组visited用于记录已保存最短路径的节点，数组res用于记录节点A到其他节点的最短路径。
开始时，Queue中只有A节点自己，三组数据如下：
Queue：[(A, 0)] 起始节点为A，A到A的距离为0
visited：[true, false,false,false,false] A节点是已经访问过的节点，是true，其他节点是false
res：[0，∞，∞，∞，∞] A到自己的距离是0，到其他节点的距离目前是∞

将以A为起点的路径加入到Queue中，2和4是节点D和B的路径权重：
Queue：[(D, 2), (B, 4)]
visited：[true, false,false,false,false]
res：[0，∞，∞，∞，∞]
在Queue中，路径最短的是D，取出D，更新三组数据：
Queue：[(B, 3), (C, 3), (E, 9)]

因为A-D-B的路径权重为3小于A-B的路径权重4，所以更新一下B的路径权重。
visited:[true,false,false,true,false]
res: [0,∞, ∞,2,∞]

取出B，更新三组数据：
Queue: [(C,3), (E, 9)]
visited: [true,true,false,true,false]
res: [0,3, ∞,2, ∞]

取出C，更新三组数据：
Queue：[(E, 6)]
visited: [true,true,true,true,false]
res: [0,3, 3,2, ∞]

取出E，更新三组数据：
Queue：[]
visited: [true,true,true,true,true]
res: [0,3, 3,2, 6]

至此，Queue队列空，计算过程结束。

5.最小生成树Prim算法

prim算法（读者可以将其读作“普里姆算法”）用来解决最小生成树问题，其基本思想是对图G(V,E)设置集合S，存放已被访问的顶点，然后每次从集合V-S中选择与集合S的最短距离最小的一个顶点（记为u），访问并加入集合S。之后，令顶点u为中介点，优化所有从u能到达的顶点v与集合S之间的最短距离。这样的操作执行n次（n为顶点个数），直到集合S已包含所有顶点。可以发现，prim算法的思想与最短路径中Dijkstra算法的思想几乎完全相同，只是在涉及最短距离时使用了集合S代替 Dijkstra算法中的起点s。

①将地图上的所有边都抹去，只有当访问一个顶点后オ把这个顶点顶点连接的边显现（这点和Dijkstra算法中相同）。

②将已访问的顶点置于ー个巨型防护罩中。可以沿着这个防护罩连接的边去访问未到达的顶点

③在地图中的顶点V(0≤i≤5)上记录顶点V与巨型防护罩之间的最短距离（即V与每个访问的顶点之间距离的最小值）。由于在①把所有边都抹去了，因此在初始状态下只在顶点V0上标记0，而其他顶点都标记无穷大（记为INF）。为了方便叙述，在下文中某几处出现的最短距离都是指从顶点V与当前巨型防护罩之间的最短距离。

下面是行动策略：

①由于要访问六个顶点，因此将②③步骤执行六次，每次访问一个顶点（如果是n个顶点，那么就执行n次）。

②每次都从还未访问的顶点中选择与当前巨型防护罩最近的顶点（记为Vk(0≤k≤5)），使用“爆裂模式”的能力恢复这条最近的边（并成为最小生成树中的一条边），前往访问。

③访问顶点Vk后，将Vk加入巨型防护罩中，开放地图上Vk连接的所有边，并査看以Vk作为巨型防护罩连接外界的接口的情况下，能否利用Vk刚开放的边使某些还未访问的顶点与巨型防护罩的最短距离变小。如果能，则将那个最短距离覆盖到地图对应的顶点上。

另外，为了得到最小生成树的边权之和，需要在访问顶点之前设置一个初值为0的变量sum，并在攻打过程中将加入最小生成树中的边的边权累加起来。