[动态规划][蓝桥杯 2022 省 B] 李白打酒加强版 -- 代码注释含详解

P8786 [蓝桥杯 2022 省 B] 李白打酒加强版(洛谷)

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李白打酒很快活,而我打了一晚上代码才把这题弄懂🥲

  • P8786 [蓝桥杯 2022 省 B] 李白打酒加强版(洛谷)
    • 题目描述
    • 输入格式
    • 输出格式
    • 样例 #1
      • 样例输入 #1
      • 样例输出 #1
    • 提示
    • \***\*\*\*\*\***\*\*\***\*\*\*\*\***\*\*\*\*\***\*\*\*\*\***\*\*\***\*\*\*\*\***
    • 👏图示解析:
    • ⌨️代码:
    • ❤️当然是令人happy的`过啦!`:
  • 🤣废话解析部分
    • 根据要求分析动态转移方程
    • 分析边界值索引

题目描述

话说大诗人李白,一生好饮。幸好他从不开车。

一天,他提着酒壶,从家里出来,酒壶中有酒 2 2 2 斗。他边走边唱:

无事街上走,提壶去打酒。
逢店加一倍,遇花喝一斗。

这一路上,他一共遇到店 N N N 次,遇到花 M M M 次。已知最后一次遇到的是花,他正好把酒喝光了。

请你计算李白这一路遇到店和花的顺序,有多少种不同的可能?

注意:壶里没酒( 0 0 0 斗)时遇店是合法的,加倍后还是没酒;但是没酒时遇花是不合法的。

输入格式

第一行包含两个整数 N N N M M M

输出格式

输出一个整数表示答案。由于答案可能很大,输出模 1000000007 1000000007 1000000007(即 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7)的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 10

样例输出 #1

14

提示

【样例说明】

如果我们用 0 代表遇到花,1 代表遇到店, 14 14 14 种顺序如下:

010101101000000
010110010010000
011000110010000
100010110010000
011001000110000
100011000110000
100100010110000
010110100000100
011001001000100
100011001000100
100100011000100
011010000010100
100100100010100
101000001010100

【评测用例规模与约定】

对于 40 % 40 \% 40% 的评测用例: 1 ≤ N , M ≤ 10 1 \leq N, M \leq 10 1N,M10

对于 100 % 100 \% 100% 的评测用例: 1 ≤ N , M ≤ 100 1 \leq N, M \leq 100 1N,M100

蓝桥杯 2022 省赛 B 组 I 题。

********************************

👏图示解析:

动态转移方程

f[i + 1][j + 1][k - 1] += f[i][j][k];
f[i + 1][j][k * 2] += f[i][j][k];

相关图解:
图解

⌨️代码:

#include <iostream>
using namespace std;const int mod = 1000000007;				//用来取模
//const int mod = 1e9+7;				//这样写也是一样的
int dfs[201][101][101];					//dfs[N+M][M][M]
//dfs[所在的位置][这个位置喝酒的次数][该位置的酒量]
//def[i][N][k]
//因为 N <= 100 并且 M <= 100int main()
{int n, m;cin >> n >> m;dfs[0][0][2] = 1;for (int i = 0; i < m + n; i ++){//大循环表示走了m + n步,不多也不少。for (int j = 0; j < m; j ++){//0~m代表喝酒m次,也就是喝酒的次数恰好为看花的次数,不多也不少。for (int k = 0; k <= m; k ++){//k表示这个位置的酒量,可以是0,也可以和看花的次数一样if (dfs[i][j][k]){//如果这个位置存在可能到达的顺序,以下两种情况将都会发生//1.下一步是进入酒店的情况if (k <= 50) dfs[i+1][j][k*2] = (dfs[i][j][k] + dfs[i+1][j][k*2]) % mod;//测试用//printf("dfs[%d][%d][%d] = %d\n", i+1, j, k*2, dfs[i+1][j][k*2]);/*进入酒店,酒量翻倍,那么如果酒量为50,翻倍就会超过所能喝酒的最大次数上限,这时数据可能会不符合题目的给定条件和范围,又因为N,M最大可以是100,所以这个50恰好取到。*///2.下一步是进入花店的情况 (也就是喝一口酒)if (k > 0) dfs[i+1][j+1][k-1] = (dfs[i][j][k] + dfs[i+1][j+1][k-1]) % mod;//测试用//printf("dfs[%d][%d][%d] = %d\n", i+1, j+1, k-1, dfs[i+1][j+1][k-1]);/*根据题意,酒量如果是0就不能再喝酒了,所以酒量必须要比零大才可以喝酒*/}}}}cout << dfs[n + m][m][0];
}

❤️当然是令人happy的过啦!:

过啦!

🤣废话解析部分

根据要求分析动态转移方程

先来谈谈题目的要求,走 n 步,总共需要喝掉 m 次酒,每一步都只有两种可能的选择来进入到下一步:

1.进入酒店
2.喝一口酒

  • 如果是进入酒店,那么 dfs[i][j][k]中的j不变(j 表示到现该位置喝了几口酒),k*2,(k 表示身上的酒量)。
  • 如果是喝一口酒,那么 dfs[i][j][k]中的j+1(表示又喝了一口酒),k-1表示身上的酒量减少了。

再结合我们画出来的演示图,就不难得到动态转移方程了(为了方便阅读,又写了一遍)

f[i + 1][j + 1][k - 1] += f[i][j][k];
f[i + 1][j][k * 2] += f[i][j][k];

分析边界值索引

for (int i = 0; i < m + n; i ++){//大循环表示走了m + n步,不多也不少。for (int j = 0; j < m; j ++){//0~m代表喝酒m次,也就是喝酒的次数恰好为看花的次数,不多也不少。for (int k = 0; k <= m; k ++){//k表示这个位置的酒量,可以是0,也可以和看花的次数一样if (dfs[i][j][k]){//如果这个位置存在可能到达的顺序,以下两种情况将都会发生

代码中出现了三处的边界值,其中i循环j循环不需要管理最后的边界位置,只需要知道,i循环进行了m + n次,表示走了m + n步,经过了m + n个位置。

同样的,j循环每一步喝酒的次数可能性,这里的思想类似于桶排序,主要是利用哈希属性来进行映射。

j表示看花次数,也是喝酒的次数,范围在[0, m - 1],其实也可以是[1, m],如果是[1, m],最后答案的索引要进行更改。

k表示李白身上的酒量,范围在[0, M]之间。

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