01背包理论问题(二维矩阵实现)
题目
解题思路
确定dp数组以及下标的含义
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本题采用二维数组进行解题，那么dp[i] [j]表示从下标0-i的物品任意选择，放进容量为j背包，价值总合最大是多少
i 表示物品第几个物品，j 表示背包容量大小
确定递推公式
- 根据动态规划理念，下一步结果是由上一步推出来的。
- dp[i] [j]可以由俩种情况推导出来
- 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
- 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值。
- 因此背包容量为j时，价值综合最大为上述情况之一
- 推导公式为 dp[i] [j] = max(dp[i - 1] [j], dp[i - 1] [j - weight[i]] + value[i]);
dp数组如何初始化
- 背包容量为0的时候，毋庸置疑价值总合最大0，因此dp[i] [0]可以初始为0
- 假设仅有物品0，那么dp[0] [j]总和最大始终为物品0的价值
- 而其他单元格使用默认初始化结果即可，因为最后都会被推导公式的结果覆盖。
确定遍历顺序
- 先推导物品还是背包重量均可，本题先遍历物品
举例推导dp数组
具体代码
public class BagProblem {public static void main(String[] args) {int[] weight = {1,3,4};int[] value = {15,20,30};int bagSize = 4;testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);}/*** 动态规划获得结果* @param weight 物品的重量* @param value 物品的价值* @param bagSize 背包的容量*/public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){// 创建dp数组int goods = weight.length; // 获取物品的数量int[][] dp = new int[goods][bagSize + 1];// 初始化dp数组// 创建数组后，其中默认的值就是0for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {dp[0][j] = value[0];}// 填充dp数组for (int i = 1; i <= weight.length; i++) {for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {if (j < weight[i]) {/*** 当前背包的容量都没有当前物品i大的时候，是不放物品i的* 那么前i-1个物品能放下的最大价值就是当前情况的最大价值*/dp[i][j] = dp[i][j];} else {/*** 当前背包的容量可以放下物品i* 那么此时分两种情况：* 1、不放物品i* 2、放物品i* 比较这两种情况下，哪种背包中物品的最大价值最大*/dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);}}}// 打印dp数组for (int i = 0; i < goods; i++) {for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {System.out.print(dp[i][j] + "\t");}System.out.println("\n");}}
}
