前言：开始整理这些资料的时候，已经是本人研一下学期的开学了。然而在遥远的4年前本人因为疫情的原因居家学习的时候，数学分析一度是我的噩梦。但时至今日，越来越发现这些基础的数学问题的重要性。尽管本人就读的本科一再强调其学生无不具有扎实的数理基础，但对于学渣本渣而言，很多东西还需要重新拾起，拓展学习。打算以此为契机，以数学分析两册教材为大纲，加之以早数值分析、信号系统、高等工程数学（研究生课程）等相关数学内容。求学时只知道做题，卷GPA，忽略了用诸如MATLAB等软件对数学问题实际应用，总觉得学了但又不会用，拿起来就忘了，希望在这里可以有所补充。主打一个用什么学什么，不定期更新。

单变量微积分

第一章 极限

        1.1 实数

                1.1.1 整数与有理数

                1.1.2 十进制小数

                1.1.3 实数域

                1.1.4 数轴

       1.2 数列极限

              1.2.1 数列极限的定义

              1.2.2 收敛数列的性质

              1.2.3 实数完备性若干等价命题

              1.2.4 发散到无穷大的数列

              1.2.5 Stolz定理

       1.3 函数极限

              1.3.1 函数

              1.3.2 函数在无穷大处的极限

              1.3.3 函数在一点处的极限

              1.3.4 函数极限的性质和运算

              1.3.5 函数极限存在的判别法

              1.3.6 两个重要极限

              1.3.7 无穷大量和无穷小量

第二章 单变量函数的连续性

       2.1 连续函数的基本概念

              2.1.1 连续的定义

              2.1.2 左（右）连续与间断

              2.1.3 连续函数的运算

              2.1.4 初等函数额定连续性

       2.2 闭区间上连续函数的性质

              2.2.1 零点定理与介值定理

              2.2.2 有界性与最大最小值定理

              2.2.3 一致连续性

第三章 单变量函数的微分学

       3.1 导数

              3.1.1 导数的定义

              3.1.2 导数的四则运算

              3.1.3 复合函数的求导法则

              3.1.4 反函数的求导法则

              3.1.5 基本初等函数的导数

              3.1.6 高阶导数

              3.17 参数方程表示的函数的导数

       3.2 微分

              3.2.1 微分的定义

              3.2.2 微分的运算与一阶微分形式的不变性

       3.3 微分中值定理

              3.3.1 Fermat定理和Rolle定理

              3.3.2 微分中值定理

              3.3.3 导函数的介值定理

       3.4 未定式的极限

              3.4.1 0/0型未定式的极限

              3.4.2 ∞/∞型未定式的极限

              3.4.3 其他类型的未定式的极限

       3.5 函数的单调性和凸性

              3.5.1 函数的单调性与极值

              3.5.2 函数的凸性和拐点

              3.5.3 平面曲线的曲率

       3.6 Taylor展开

              3.6.1 Taylor公式

              3.6.2 余项的表示与估计

第四章 不定积分

       4.1 不定积分及其基本计算方法

              4.1.1 基本概念

              4.1.2 换元积分法

              4.1.3 分布积分法

       4.2 有理函数的不定积分

              4.2.1 有理函数的不定积分

              4.2.2 三角函数有理式的不定积分

              4.2.3 其他类型的初等函数的不定积分

第五章 单变量函数的积分学

       5.1 积分

              5.1.1 积分的定义

              5.1.2 可积函数类

              5.1.3 积分的初等例子

              5.1.4 积分的基本性质

              5.1.5 微积分基本定理

              5.1.6 积分的计算

              5.1.7 用积分定义函数

              5.1.8 Taylor展开式中余项的积分表示

       5.2 函数的可积性

              5.2.1 函数的可积性

              5.2.2 可积函数类有关定理和性质的证明

       5.3 积分的应用

              5.3.1 平面曲线的弧长

              5.3.2 平面图形的面积

              5.3.3 旋转体的体积

              5.3.4 旋转体的侧面积

              5.3.5 变力做功和引力

       5.4 反常积分

              5.4.1 无穷区间上的积分

              5.4.2 瑕积分

              5.4.3 反常积分的换元积分和分部积分

第六章 常微分方程初步

       6.1 一阶微分方程

              6.1.1 分离变量法

              6.1.2 齐次方程

              6.1.3 一阶线性方程

              6.1.4可降阶微分方程

       6.2 二阶线性微分方程

              6.2.1 二阶线性方程解的结构

              6.2.2 常数变易法

              6.2.3 二阶常系数齐次线性微分方程组

              6.2.4 振动方程的解

第七章 无穷级数

       7.1 数项级数

              7.1.1 基本概念与性质

              7.1.2 正项级数的收敛性及其判别法

              7.1.3 一般级数的收敛性及其判别法

              7.1.4 级数的乘积

              7.1.5 无穷乘积

       7.2 函数项级数

              7.2.1 收敛性

              7.2.2 一致收敛性

              7.2.3 一致收敛级数的性质

       7.3 幂级数和Taylor展开式

              7.3.1 幂级数的收敛区域

              7.3.2 收敛半径的计算

              7.3.3 幂级数的性质

              7.3.4 幂级数的运算

              7.3.5 函数的Taylor展开式

       7.4 级数的应用

              7.4.1 用级数方法计算积分

              7.4.2 近似计算

              7.4.3 微分方程的幂级数解

              7.4.4 Stirling公式

多变量微积分

第八章 空间解析几何

        8.1 向量与坐标系

                8.1.1 向量的定义与向量的加法和数乘

                8.1.2 向量的共线和共面

                8.1.3 向量的点乘和又乘

                8.1.4 向量的坐标表示

                8.1.5 空间坐标系

        8.2平面与直线

                8.2.1 平面方程

                8.2.2 直线方程

        8.3二次曲面

        8.4 坐标变换和其他常用坐标系

                8.4.1 坐标变换

                8.4.2 其他常用坐标系

第九章 多变量函数的微分学

        9.1 多变量函数及其连续性

                9.1.1 平面上的点集

                9.1.2 多变量函数

                9.1.3 多变量函数的极限

                9.1.4 多变量函数的连续性

       9.2 多变量函数的微分

                9.2.1 多变量丽数的偏微商

                9.2.2 多变量函数的可微性例

                9.2.3 方向导数与梯度

                9.2.4 复合数的微分和一阶微分不变性

                9.2.5向量值函数的微商和微分

        9.3 隐函数定理和逆映射定理

                9.3.1隐函数的存在性和微商

                9.3.2 从微分的角度看隐函数定理

                9.3.3逆映射的微商

           9.4 空间曲线与曲面

                9.4.1 参数曲线

                9.4.2参数曲面

                9.4.3 隐式曲线和隐式曲面

        9.5 多变量函数的Taylor公式与极值

                9.5.1 二元函数的微分中值定理

                9.5.2 二元函数的Taylor公式

                9.5.3 二元函数的极值

                9.5.4 条件极值

        9.6向量场的微商

                9.6.1 向量场

                9.6.2 梯度、散度与旋度

                *9.6.3 Hamilton算子在柱面坐标系和球面坐标系中的表示

        9.7 微分形式

                9.7.1 微分形式的空间

                9.7.2 微分形式的外积

                9.7.3 微分形式的外微分

                9.7.4 微分形式在高维空间的推广

第十章 多变量函数的重积分

        10.1二重积分

                10.1.1 平面区域的面积

                10.1.2二重积分的基本概念与性质

                10.1.3 二重积分的计算

        10.2 二重积分的换元

                10.2.1 坐标曲线和面积元素

                10.2.2 二重积分的换元

        10.3 三重积分

                10.3.1 三重积分的累次积分

                10.3.2 三重积分的换元

                *10.3.3 来自物理学中的几个例子

        10.4 n重积分

第十一章 曲线积分和曲面积分

        11.1 数量场在曲线上的积分

                11.1.1 基本概念

                11.1.2 数量场在曲线上的积分的计算

        11.2 数量场在曲面上的积分

                11.2.1 曲面的面积

                11.2.2 数量场在曲面上的积分的计算

        11.3 向量场在曲线上的积分

                11.3.1 曲线的定向

                11.3.2 向量场在曲线上的积分的定义和计算

                11.3.3 Green定理

        11.4 向量场在曲面上的积分

                11.4.1双侧曲面及其定向

                11.4.2 向量场在曲面上的积分的定义和计算

        11.5 Gauss定理和Stokes定理

                11.5.1 Gauss 定理

                11.5.2 Stokes 定理

                11.6其他形式的曲线、曲面积分

        11.7 保守场

                11.7.1 保守场与势函数

                11.7.2 无源场与向量势

        *11.8 微分形式的积分

                11.8.1 微分形式的积分

                11.8.2 全微分方程

第十二章 Fourier分析

        12.1 函数的Fourier级数

                12.1.1 周期函数与三角函数的正交性

                12.1.2 周期函数的Fourier 级数

                12.1.3 有限区间上函数的Fourier 级数

                12.1.4 Fourier 级数的复数形式

        12.2 平方平均收敛

               12.2.1 基本概念

                12.2.2 Bessel(贝塞尔)不等式

                12.2.3平方平均收

                12.2.4 广义Fourier 级数

        12.3 收敛性定理的证明

                12.3.1 Dirichlet定理的证明

                12.3.2 平方平均收敛性定理的证明

        12.4 Fourier变换

                12.4.1 Fourier 积分

                12.4.2 Fourier 变换

第13章 反常积分和含参变量的积分

        13.1 反常积分

                13.1.1 无穷区间上积分的收敛性

                13.1.2 无穷区间上积分收敛性的一般判别法

                13.1.3 无界函数积分的收敛判别法

        13.2 反常多重积分

        13.3 含参变量的积分

                13.3.1 含参变量的积分及其性质

                13.3.2 积分限依赖于参变量的积分及其性质

        13.4含参变量的反常积分

                13.4.1含参变量的反常积分的一致收敛性

                13.4.2含参变量反常积分的性质

                13.4.3 几个重要的积分

        13.5 Euler积分

               13.5.1 Γ函数的性质

               13.5.2 B函数的性质

参考资料：

[1] 程艺，陈卿 李平. 数学分析讲义（第一册）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2019. 

[2] 程艺，陈卿 李平. 数学分析讲义（第二册）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2020.