343. 整数拆分
给定一个正整数 n,将其拆分为至少两个正整数的和,并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:
- 输入: 2
- 输出: 1
- 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
- 输入: 10
- 输出: 36
- 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
- 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
本题需要注意的是,至少拆成2个正整数的和,而不是正好是2个正整数。
- 确定dp数组以及下标的含义:dp[i]为整数i拆分后的最大乘积
- 确定递推公式:假如将i拆分为j和i-j,这里j不只是代表一个数字而是一可能由j个整数组成的乘积。如果从1遍历到j,有两种途径可以得到dp[i],一个是dp[i]=j*(i-j),另一个是dp[i]=j*dp[i-j],这里dp[i-j]代表i-j这个数字被拆分后的最大值。
- dp数组如何初始化:本题将i拆成0是没有意义的,所以不考虑,1拆开只能是1和0,也是没有意义的,所以从2开始初始化,2可以拆成1 + 1,因此dp[2]=1
- 确定遍历顺序:既然初始化是从2开始的,所以i从3开始遍历,j从1开始遍历,到i停止。
- 举例推导dp数组:没法通过简单计算举例。
class Solution {public int integerBreak(int n) {int[] dp=new int[n+1]; dp[2]=1;for(int i=3;i<=n;i++){for(int j=1;j<i;j++){dp[i]=Math.max(dp[i], Math.max(j*dp[i-j], j*(i-j)));}}return dp[n];}
}
⚠️本题的优化思路:其实将对于j的遍历条件改为: j<i-1可以节省一步计算,因为如果让j=i-1,其实在 j = 1的时候,这一步就已经拆出来了,属于重复计算,所以 j < i - 1。
更优化一步,可以这样:
for (int i = 3; i <= n ; i++) {for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));}
}
因为拆分一个数i使之乘积最大,比如i=x+(i-x) dp[i]=x(i-x)=xi-x^2,这时是一个向下的抛物线,最大点为x/2
96.不同的叉搜索树
给定一个整数 n,求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种?
示例:
这道题要求能构造多少二叉搜索树。二叉搜索树是有一定规律的,其中序遍历是有序的。按照示例所给,可以先从1开始遍历,看以i为根节点能构造出多少子树。其实一开始还是没有什么思路,主要是递推公式不太好想,所以准备按照五部曲依次思考一下:
- 确定dp数组以及下标的含义:dp[i]为有i个节点时能构造的二叉搜索树个数。
- 确定递推公式:目前还没有什么思路。
- dp数组如何初始化:若n=1,则dp[1]毫无疑问是1,若n=2,则有两种构造方法,一种是以1为根节点,左子树为空,右子树为2;一种是以2为根节点,左子树为1,右子树为空,所以dp[2]=2;n=3就是示例中所给情况,可以看到,如果以1为根节点,则左子树一定为空的,右子树有两种可能,分别是以2和3为子树根节点。若以2为根节点,则左右子树各有一个节点,有一种可能,若以3为根节点,则右子树为空,左子树有两种可能,分别是以1和2为子树根节点。
当分析到如何初始化的时候,已经渐渐有了关于推导递推公式的雏形,接下来可以捋一下思路:
当n=1时:只有一个节点,不附图了
当n=2时:如下
当n=3时,有三种大的情况:
- 以1为根节点:因为此题本质求的是树的形状的可能性,所以跟具体的数值关系不大,如果把1去掉来看,可以看到,其实剩下的形状和n=2的时候是一样的:
- 以2为根节点:左边节点1,右边节点3
- 以3为根节点:去掉3,剩下的形状和n=2的时候也是一样的:
因此
- 有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。
- 有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。
- 有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。
可以这样推导:
- 以1为头节点的搜索树个数=右子树有2个元素搜索树数量*左子树有0个元素搜索树数量
- 以2为头节点的搜索树个数=右子树有1个元素搜索树数量*左子树有1个元素搜索树数量
- 以3为头节点的搜索树个数=右子树有0个元素搜索树数量*左子树有2个元素搜索树数量
那么n=3时,dp[3]就是上面三种情况的搜索树个数之和,即dp[3]=dp[2]*dp[0]+dp[1]*dp[1]+dp[0]*dp[2] ,
拓展到i就是:不断地累加:dp[以j为头结点左子树节点数量]*dp[以j为头结点右子树节点数量],j的范围为[1, i]
所以递推公式为:dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j],因此下面完整的五部曲为:
- 确定dp数组以及下标的含义:有i个节点时能构造的二叉搜索树个数
- 确定递推公式:dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j]
- dp数组如何初始化:要注意,从定义上来讲,空节点也是一棵二叉树,也是一棵二叉搜索树,所以dp[0]=1,这个我一开始弄错了。dp[1]=1
- 确定遍历顺序:i从1到n,j从1到i
- 举例推导dp数组:无法手动举更多例子
class Solution {/**确定dp数组以及下标的含义:有i个节点时能构造的二叉搜索树个数确定递推公式:dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j]dp数组如何初始化:dp[1]=1,dp[2]=2确定遍历顺序:i从3到n,j从1到i*/public int numTrees(int n) {int[] dp=new int[n+1];dp[0]=1;dp[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];}}return dp[n];}
}