AVL树是啥

一提到AVL树，脑子里不是旋了，就是悬了。

AVL树之所以难，并不是因为结构难以理解，而是因为他的旋转。

AVL树定义

• 平衡因子：对于一颗二叉树，某节点的左右子树高度之差，就是该节点的平衡因子
• AVL树：对于一颗二叉树，任意节点的平衡因子bf 在范围[-1，1]之间（即左右子树高度差的绝对值<=1），则该树就是平衡二叉树

为何会有AVL树

AVL树是二叉搜索树的衍生，其名字来源是根据两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis，他们在1962年发明的一种用来解决二叉搜索树在极端情况下时间复杂度变为O(n)的情况。而其解决该情况的方法便是：通过旋转旋转来调整二叉搜索树的平衡

AVL树的节点

AVL树的节点实现方式有很多，这里采取下面的方法定义节点：

template<class T>struct AVLTreeNode{AVLTreeNode(const T& data): _left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_data(data),_bf(0){}AVLTreeNode<T>* _left;  // 该节点的左孩子AVLTreeNode<T>* _right; // 该节点的右孩子AVLTreeNode<T>* _parent;// 该节点的父亲T _data;//存储数据int _bf;//平衡因子  
};

这里AVL树节点的实现增加了_bf （平衡因子）成员变量，用来记录每个点的平衡因子。同时用了父节点的指针_parent ，目的是方便调整平衡因子。

AVL树的插入

这里AVL树的插入操作与二叉搜索树一样，唯一不同的是，在插入后要调整平衡因子

• 对于插入的节点，因为其是插入到叶节点位置，所以他的平衡因子为0
• 将节点插入后，树的高度可能会发生改变，此时则要调整他父亲，甚至还要调整父亲的父亲的平衡因子。主要分为以下几种情况

情况1：

如果在节点的右孩子插入，则该节点的bf需要+1（节点70、50的bf连锁着发生了变化，后面有说明）

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情况2：

如果在节点的左孩子插入，则该节点的bf需要-1（节点70、50的bf连锁着发生了变化，后面有说明）

但是没完！

如果节点的平衡因子因为插入而变成了1 或者-1 ，则说明子树的高度发生了变化，此时该节点的父节点的bf也应发生变化（如果父节点的bf更改之后影响了“爷爷节点”，则爷爷节点也要跟着跟着变化）。所以上图中的70和50两节点的bf也要发生变化。

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但是还没完！

bf 的值有可能会变为2、-2，则此时就需要进行旋转操作（旋转完成后，会手动调整bf，保证其符合要求）

代码：

//插入操作
...
//调整平衡因子
cur = newnode;
parent = newnode->_parent;
while (parent)
{if (parent->_right == cur){++parent->_bf;}else if (parent->_left == cur){--parent->_bf;}if (parent->_bf == 0)//AVL树稳定了，break出去break;else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)//无需旋转但是需要更改父亲的平衡因子{cur = parent;parent = parent->_parent;}else if ()//需要旋转{}
}

AVL树的旋转

重中之重，也是难中之难

AVL树旋转的目的

AVL树是一个平衡二叉搜索树，因为某些插入操作导致它不再平衡（具体表现是平衡因子变为2或-2），则此时为了使之平衡，就需要进行旋转操作

AVL树旋转操作

AVL树的旋转主要分为4种情况：

1. 左旋
2. 右旋
3. 左旋再右旋（双旋）
4. 右旋再左旋（双旋）

情况1：左旋

对于插入后父亲的bf=2，右孩子的bf=1的情况，采用左旋。且左旋后平衡因子都是0

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情况2：右旋

对于插入后父亲的bf=-2，左孩子的bf=-1的情况，采用右旋。且右旋后平衡因子都是0

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双旋

这种情况的发生是因为发现对该节点无论左旋还是右旋，都无法使其平衡，原因是插入节点的位置比较特殊

情况3：左旋再右旋

对于插入（这里插入b还是c只会影响旋转完后的平衡因子）后父亲的bf=-2，左孩子的bf=1的情况，采用左旋再右旋。这里的平衡因子更新规则与前不同，详见后文。

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情况4：先右旋再左旋

对于插入（这里插入b还是c只会影响旋转完后的平衡因子）后父亲的bf=2，右孩子的bf=-1的情况，采用右旋再左旋。这里的平衡因子更新规则与前不同，详见后文。

双旋的平衡因子更新规则

更新规则相比旋转规则就简单许多

分为以下3种情况（以上图为例）：

1. 如果60的平衡因子（旋转前）是-1，则更新后的60的平衡因子变为0，左孩子变为0，右孩子变为1
2. 如果60的平衡因子（旋转前）是1，则更新后60的平衡因子变为0，左孩子变为-1，右孩子变为0
3. 如果60的平衡因子（旋转前）是0，则更新后60的平衡因子变为0，左孩子变为0，右孩子变为0

代码：

这里只给出一部分代码，剩下的可以自己尝试写出来，然后可以到仓库对照

bool insert(const pair<K,V>& kv)
{//插入Node* newnode = new Node(kv);if (newnode == nullptr) return false;if (_root == nullptr){_root = newnode;return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){parent = cur;if (kv.first > cur->_kv.first){cur = cur->_right;}else cur = cur->_left;}//调整节点连接if (kv.first > parent->_kv.first)parent->_right = newnode;else parent->_left = newnode;newnode->_parent = parent;//调整平衡因子cur = newnode;parent = newnode->_parent;while (parent){if (parent->_right == cur){++parent->_bf;}else if (parent->_left == cur){--parent->_bf;}if (parent->_bf == 0)//AVL树稳定了，break出去break;else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)//无需旋转但是需要更改父亲的平衡因子{cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)//需要旋转{if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else{assert(false);}}}return true;
}
//左旋
void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;Node* pparent = parent->_parent;parent->_parent = subR;subR->_left = parent;parent->_right = subRL;if (subRL){subRL->_parent = parent;}if (!pparent){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subR;}else{pparent->_right = subR;}subR->_parent = pparent;}parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;
}
//先左旋，再右旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == -1){subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}
}