AVL树是啥
一提到AVL树,脑子里不是旋了,就是悬了。
AVL树之所以难,并不是因为结构难以理解,而是因为他的旋转。
AVL树定义
- 平衡因子:对于一颗二叉树,某节点的左右子树高度之差,就是该节点的平衡因子
- AVL树:对于一颗二叉树,任意节点的平衡因子
bf
在范围[-1,1]
之间(即左右子树高度差的绝对值<=1),则该树就是平衡二叉树
为何会有AVL树
AVL树是二叉搜索树的衍生,其名字来源是根据两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis,他们在1962年发明的一种用来解决二叉搜索树在极端情况下时间复杂度变为O(n)的情况。而其解决该情况的方法便是:通过旋转旋转来调整二叉搜索树的平衡
AVL树的节点
AVL树的节点实现方式有很多,这里采取下面的方法定义节点:
template<class T>struct AVLTreeNode{AVLTreeNode(const T& data): _left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_data(data),_bf(0){}AVLTreeNode<T>* _left; // 该节点的左孩子AVLTreeNode<T>* _right; // 该节点的右孩子AVLTreeNode<T>* _parent;// 该节点的父亲T _data;//存储数据int _bf;//平衡因子
};
这里AVL树节点的实现增加了_bf
(平衡因子)成员变量,用来记录每个点的平衡因子。同时用了父节点的指针_parent
,目的是方便调整平衡因子。
AVL树的插入
这里AVL树的插入操作与二叉搜索树一样,唯一不同的是,在插入后要调整平衡因子
- 对于插入的节点,因为其是插入到叶节点位置,所以他的平衡因子为0
- 将节点插入后,树的高度可能会发生改变,此时则要调整他父亲,甚至还要调整父亲的父亲的平衡因子。主要分为以下几种情况
情况1:
如果在节点的右孩子插入,则该节点的
bf
需要+1(节点70、50的bf连锁着发生了变化,后面有说明)
情况2:
如果在节点的左孩子插入,则该节点的
bf
需要-1(节点70、50的bf连锁着发生了变化,后面有说明)但是没完!
如果节点的平衡因子因为插入而变成了
1
或者-1
,则说明子树的高度发生了变化,此时该节点的父节点的bf
也应发生变化(如果父节点的bf更改之后影响了“爷爷节点”,则爷爷节点也要跟着跟着变化)。所以上图中的70和50两节点的bf
也要发生变化。
但是还没完!
bf
的值有可能会变为2、-2,则此时就需要进行旋转操作(旋转完成后,会手动调整bf,保证其符合要求)
代码:
//插入操作
...
//调整平衡因子
cur = newnode;
parent = newnode->_parent;
while (parent)
{if (parent->_right == cur){++parent->_bf;}else if (parent->_left == cur){--parent->_bf;}if (parent->_bf == 0)//AVL树稳定了,break出去break;else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)//无需旋转但是需要更改父亲的平衡因子{cur = parent;parent = parent->_parent;}else if ()//需要旋转{}
}
AVL树的旋转
重中之重,也是难中之难
AVL树旋转的目的
AVL树是一个平衡二叉搜索树,因为某些插入操作导致它不再平衡(具体表现是平衡因子变为2或-2),则此时为了使之平衡,就需要进行旋转操作
AVL树旋转操作
AVL树的旋转主要分为4种情况:
- 左旋
- 右旋
- 左旋再右旋(双旋)
- 右旋再左旋(双旋)
情况1:左旋
对于插入后父亲的
bf=2
,右孩子的bf=1
的情况,采用左旋。且左旋后平衡因子都是0
情况2:右旋
对于插入后父亲的
bf=-2
,左孩子的bf=-1
的情况,采用右旋。且右旋后平衡因子都是0
双旋
这种情况的发生是因为发现对该节点无论左旋还是右旋,都无法使其平衡,原因是插入节点的位置比较特殊
情况3:左旋再右旋
对于插入(这里插入b还是c只会影响旋转完后的平衡因子)后父亲的
bf=-2
,左孩子的bf=1
的情况,采用左旋再右旋。这里的平衡因子更新规则与前不同,详见后文。
情况4:先右旋再左旋
对于插入(这里插入b还是c只会影响旋转完后的平衡因子)后父亲的
bf=2
,右孩子的bf=-1
的情况,采用右旋再左旋。这里的平衡因子更新规则与前不同,详见后文。
双旋的平衡因子更新规则
更新规则相比旋转规则就简单许多
分为以下3种情况(以上图为例):
- 如果60的平衡因子(旋转前)是-1,则更新后的60的平衡因子变为0,左孩子变为0,右孩子变为1
- 如果60的平衡因子(旋转前)是1,则更新后60的平衡因子变为0,左孩子变为-1,右孩子变为0
- 如果60的平衡因子(旋转前)是0,则更新后60的平衡因子变为0,左孩子变为0,右孩子变为0
代码:
这里只给出一部分代码,剩下的可以自己尝试写出来,然后可以到仓库对照
bool insert(const pair<K,V>& kv)
{//插入Node* newnode = new Node(kv);if (newnode == nullptr) return false;if (_root == nullptr){_root = newnode;return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){parent = cur;if (kv.first > cur->_kv.first){cur = cur->_right;}else cur = cur->_left;}//调整节点连接if (kv.first > parent->_kv.first)parent->_right = newnode;else parent->_left = newnode;newnode->_parent = parent;//调整平衡因子cur = newnode;parent = newnode->_parent;while (parent){if (parent->_right == cur){++parent->_bf;}else if (parent->_left == cur){--parent->_bf;}if (parent->_bf == 0)//AVL树稳定了,break出去break;else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)//无需旋转但是需要更改父亲的平衡因子{cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)//需要旋转{if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else{assert(false);}}}return true;
}
//左旋
void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;Node* pparent = parent->_parent;parent->_parent = subR;subR->_left = parent;parent->_right = subRL;if (subRL){subRL->_parent = parent;}if (!pparent){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subR;}else{pparent->_right = subR;}subR->_parent = pparent;}parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;
}
//先左旋,再右旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == -1){subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}
}