在了解差分之前，我们首先需要知道前缀和的概念。

前缀和简单介绍：

对于一个数组A，要求出A[0]~A[i]的和，我们通常的做法是遍历一边，加起来。但是要求m组这样的和，我们就要花费O(mn)的时间复杂度。显然不合理。所以我们要用到动态规划里的备忘录思想，创建一个新数组B,B[i]记录的是B[0]~B[i]的和。这个数组就是A的前缀和。

差分的概念：

有前缀和就有其逆定理。那就是假设数组A是一个前缀和数组，那么怎么求原数组呢B？答案是B[i] = A[i] - A[i-1] 这很好理解。这种算法可以被视为前缀和的逆运算。

现在我们获得了差分的概念，让我们看看怎么使用它吧。

如何使用：

差分的主要用处在于：

快速将序列A[l..r]的区间每个元素加上d。

正常加我们就需要不断遍历这一段数组。但是我们有了差分的概念，因此我们可以得到差分数组B[l]' = A[l] + d - A[l-1] = B[l] + d

B[r+1]' = A[r+1] -A[r] -d = B[r+1] - d

差分可以将在原序列上的 “区间操作” 转化为差分序列上的 “单点操作”。

现在有了对一维数组的差分运算， 我们可以看看二维数组怎么操作。

二维差分：

二维差分要解决的问题是给原二维数组A的[x1,y1]~[x2,y2]处的所有元素加上d。

我们根据几何关系可以得出以下公式

Bi,j = Ai,j - Ai-1,j - Ai,j-1, + Ai-1,j-1

结合前面文章中差分的用途，可以容易的想到，二维差分主要是用于快速将一个区块中的所有元素都加上 d。

根据我们的公式我们很快得出一个结论：

对原数组A的[x1,y1]~[x2,y2]处的所有元素加上d等价于：

B[x1,y1] += 1

B[x1,y2+1] -= 1

B[x2+1,y1] -= 1

B[x2+1,y2+1] += 1

可以画一张图自己看看，推导很简单

应用：

问题描述

小兰拥有n*n 大小的棋盘，一开始棋盘上全是白子，小兰进行了m 次操作，每次操作会将棋盘上某个范围内的所有棋子的颜色取反（也就是白色棋子变为黑色，黑色棋子变为白色）。请输出所有操作做完后棋盘上每个棋子的颜色。

输入格式

输入的第一行包含两个整数 n,m，用一个空格分隔，表示棋盘大小与操作数。

接下来 m 行每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，相邻整数之间使用一个空格分隔，表示将在 x1~x1行,y1~y2 列中的棋子颜色取反。

输出格式

输出 n 行，每行 n 个 0 或  1 表示该位置棋子的颜色。如果是白色则输出 0，否则1

样例输入

3 3
1 1 2 2
2 2 3 3
1 1 3 3

样例输出

001
010
100

代码：

import java.util.Scanner;public class Main extends Base{public static void main(String[] args) {int n = I(),m = I();int[][] sum = new int[n+1][n+1]; //原数组int[][] diff = new int[n+2][n+2]; //差分数组for(int k=0;k<m;k++){int x1 = I(),y1 = I(),x2 = I(),y2 = I();//每次对差分数组4个位置操作diff[x1][y1]++;diff[x1][y2+1]--;diff[x2+1][y1]--;diff[x2+1][y2+1]++;}//由差分数组得到原数组for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){sum[i][j] = sum[i-1][j]+sum[i][j-1]+diff[i][j]-sum[i-1][j-1];if(sum[i][j]%2==0) print(0);else print(1);}print("\n");}}
}
class Base {static Scanner scan = new Scanner(System.in);static int I(){return scan.nextInt();}static <T> void println(T x){System.out.println(x);}static <T> void print(T x){System.out.print(x);}
}

sum[i][j] = sum[i-1][j]+sum[i][j-1]+diff[i][j]-sum[i-1][j-1];

这一行是 

Bi,j = Ai,j - Ai-1,j - Ai,j-1, + Ai-1,j-1求Ai,j的运算变形