惯性传感器的倾角计算要用到三角函数.

在 MCS-51, Cortex M0, M3 之类的芯片上编程时, 能使用的资源是非常有限, 通常只有两位数KB的Flash, 个位数KB的RAM. 如果要使用三角函数和开方就要引入 math.h, 会消耗掉10KB以上的Flash空间. 在很多情况下受硬件资源限制无法使用 math.h, 这时候使用简化的方法进行三角函数和开方运算就非常有意义, OlliW’s Bastelseiten在2014年的一篇文章里, 提供了几个实用的计算方法. 下面介绍其计算方法和代码实现.

快速正弦余弦(Sin, Cos)计算

将角度 $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$通过下面的式子转换到 $ \alpha \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 区间

$$\alpha =\frac{2}{\pi }x-\frac{1}{2}$$

于是, 对应 $\alpha$ 的多项式近似计算为
$$\begin{gathered} \sin \alpha =a_0-b_1\alpha +a_2{\alpha }^2-b_3{\alpha }^3+a_4{\alpha }^4-b_5{\alpha }^5+a_6{\alpha }^6 \\ \cos \alpha =a_0+b_1\alpha +a_2{\alpha }^2+b_3{\alpha }^3+a_4{\alpha }^4+b_5{\alpha }^5+a_6{\alpha }^6 \end{gathered}$$
如果将上面的符号固定项和变化项分成$A$和$B$两部分
$$\begin{gathered} A=a_0+a_2{\alpha }^2+a_4{\alpha }^4+a_6{\alpha }^6 \\ B=b_1\alpha +b_3{\alpha }^3+b_5{\alpha }^5 \end{gathered}$$
则 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 可以通过 A 和 B 的值表达
$$\begin{gathered} \sin \alpha =A-B \\ \cos \alpha =A+B \end{gathered}$$

对应的各项系数值

$$\begin{gathered} a_0=0.707106781187 \\ {a}_2=-0.872348075361 \\ {a}_4=0.179251759526 \\ {a}_6=-0.0142718282624 \\ {b}_1=-1.110670322264 \\ {b}_3=0.4561589075945 \\ {b}_5=-0.0539104694791 \end{gathered}$$

使用上面的计算方式, 结果绝对误差小于$6.5\times 10^{-6}$, 并且 ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x$ 不会超过 1. 计算过程只需要7次乘法和7次加法.

C语言实现

const   float coeff[7] = {// a0 ~ a6           b1 ~ b50.707106781187,  -1.110670322264,-0.872348075361,   0.4561589075945,0.179251759526,  -0.0539104694791,-0.0142718282624
};/*** @param alpha: value between 0 and 0.5
*/
void sincos_normalized(float alpha, float *sin, float *cos)
{int i;float alpha_exp = 1.0, part_a = 0, part_b = 0;for (i = 0; i < 7; i++){if (i % 2 == 0){part_a = part_a + (coeff[i] * alpha_exp);}else{part_b = part_b + (coeff[i] * alpha_exp);}alpha_exp = alpha_exp * alpha;}*sin = part_a - part_b;*cos = part_a + part_b;
}float calculate(float degree_in)
{int quadrant, multi;float degree = degree_in, alpha, cos, sin, c, s;multi = (int)(degree / 90.0);degree = degree - (multi * 90.0);alpha = (degree / 90) - 0.5;sincos_normalized(alpha, &s, &c);multi = multi % 4;if (multi == 0){sin = s;cos = c;}else if (multi == 1){sin = c;cos = -s;}else if (multi == 2){sin = -s;cos = -c;}else if (multi == 3){sin = -c;cos = s;}printf("d_in:%5.0f d:%5.0f a:%10.5f  sin:%10.5f  cos:%10.5f\r\n", degree_in, degree, alpha, sin, cos);
}

计算的结果和 math.h 的 sin cos 函数对比, 数值几乎一样, 仅在个别数值的小数点后第五位会有$\pm 1$的差异.

平方根倒数计算

对于1附近的数值, 平方根倒数可以使用牛顿迭代法计算, 实际上非常简单，因为它只涉及加法和乘法，而不涉及除法, 对于 $x\in [0.6,1.4]$, 计算式为
$$\begin{gathered} y_0=1 \\ {y}_{n+1}=y_n(1.5-0.5x{y_n}^2) \end{gathered}$$

计算两次牛顿迭代需要3次乘法, 而二阶泰勒级数只需要2次, 但是牛顿迭代法精度更高, 甚至比三阶泰勒级数的精度更高. 如果执行三次牛顿迭代则需要6次乘法, 在$0.6<x<1.4$的范围内结果精度优于$1\times 10^{-4}$, 注意$x$的取值范围, 因为近似是以1为中心展开的, 所以离1越远差异越大, 在这个范围之外例如$x=0.5$的时候, 三次迭代就达不到这个精度. 在实际应用中, 可以将要计算的数值提一个系数转换到 $x\in [0.6,1.4]$区间进行计算.

C语言实现

float inverse_sqrt(int interates, float x)
{float y;y = 1.5 - (x / 2);while (interates--){y = y * (1.5 - 0.5 * x * y * y);}return y;
}// 使用 0.5 ~ 2.1 之间的数字测试, 分别迭代5次
int main(int argc, char *const argv[])
{int i, j;for (i = 0; i < 17; i++){printf("%4.1f ", i*0.1 + 0.5);for (j = 0; j < 5; j++){printf("%11.9f ", inverse_sqrt(j, i*0.1 + 0.5));}printf("\r\n");}return 0;
}

快速反正弦(Arcsin)计算

原文最终选择的是多项式近似, 避免了取绝对值等复杂处理, 只是在 $x=\pm 1$ 附近的绝对精度较差, 输出值规范化为 $\pi$，即定义 $\arcsin (x)=\pi \times asin(x)$. 计算式为
$$asin(x)=\frac{x}{2}\times \frac{a_0+a_2{x}^2+a_4{x}^4+a_6{x}^6}{b_0+b_2{x}^2+b_4{x}^4+b_6{x}^6}$$
对应的系数数值为
$$\begin{gathered} a_0=0.318309886 \\ {a}_2=-0.5182875 \\ {a}_4=0.222375 \\ {a}_6=-0.016850156 \\ {b}_0=0.5 \\ {b}_2=-0.89745875 \\ {b}_4=0.46138125 \\ {b}_6=-0.058377188 \end{gathered}$$

当 $|x|<0.75$时, 绝对误差小于 $1\times 10^{-5}$, 当 $|x|<0.91$时, 绝对误差小于 $4.2\times 10^{-5}$, 在 $x\approx 0.997$时, 最大误差为 $0.011$.

C语言实现

const float coeffa[4] = {// a0 ~ a60.318309886,-0.5182875,0.222375,-0.016850156
};const float coeffb[4] = {0.5,-0.89745875,0.46138125,-0.058377188
};const float pi = 3.14159265358979;float arcsin(float x)
{int i;float x2 = 1, a = 0, b = 0;for (i = 0; i < 4; i ++){a = a + coeffa[i] * x2;b = b + coeffb[i] * x2;x2 = x2 * x * x;}return (x * pi / 2) * (a / b);
}int main(int argc, char *const argv[])
{int i;float x, alpha, expect;for (i = 0; i < 20; i++){x = 0.01 + (i * 0.05);alpha = arcsin(x);expect= asin(x);printf("x:%4.2f  a:%9.6f e:%9.6f\r\n", x, alpha, expect);}
}

计算结果, 最右侧一列为 math.h 的 asin() 函数, 用于对比

x:0.01  a: 0.010000 e: 0.010000
x:0.06  a: 0.060036 e: 0.060036
x:0.11  a: 0.110223 e: 0.110223
x:0.16  a: 0.160691 e: 0.160691
x:0.21  a: 0.211575 e: 0.211575
x:0.26  a: 0.263022 e: 0.263022
x:0.31  a: 0.315193 e: 0.315193
x:0.36  a: 0.368268 e: 0.368268
x:0.41  a: 0.422454 e: 0.422454
x:0.46  a: 0.477996 e: 0.477995
x:0.51  a: 0.535185 e: 0.535185
x:0.56  a: 0.594386 e: 0.594386
x:0.61  a: 0.656060 e: 0.656061
x:0.66  a: 0.720815 e: 0.720819
x:0.71  a: 0.789485 e: 0.789498
x:0.76  a: 0.863278 e: 0.863313
x:0.81  a: 0.944073 e: 0.944152
x:0.86  a: 1.035139 e: 1.035270
x:0.91  a: 1.143404 e: 1.143284
x:0.96  a: 1.291451 e: 1.287002

将0.9附近细分一下

x:0.90  a: 1.119760 e: 1.119769
x:0.91  a: 1.143404 e: 1.143284
x:0.92  a: 1.168431 e: 1.168081
x:0.93  a: 1.195150 e: 1.194413
x:0.94  a: 1.224027 e: 1.222630
x:0.95  a: 1.255752 e: 1.253236
x:0.96  a: 1.291451 e: 1.287002
x:0.97  a: 1.333107 e: 1.325231
x:0.98  a: 1.384628 e: 1.370462
x:0.99  a: 1.455034 e: 1.429257

在 $0<x<0.6$区间的精度最高, 在$0.6<x<0.9$区间结果数值偏小, 在$0.9<x<1$区间结果数值偏大. 越接近1精度越差, 实际使用时在大于$0.97$时需要做一些补偿.

参考

• 用多项式快速计算三角函数等 https://www.olliw.eu/2014/fast-functions/