C语言中的套娃——函数递归

目录

一、什么是递归

1.1.递归的思想

1.2.递归的限制条件

二、举例体会

2.1.求n的阶乘 

2.2.顺序打印整数的每一位

2.3.斐波那契数列

三、递归与迭代


一、什么是递归

在学习C语言的过程中,我们经常会跟递归打交道,什么是递归呢?它其实是一种解决问题的方法,递归递归,顾名思义,递推回归。在C语言中,函数自己调用自己就是递归,我们可以把它想成生活中的俄罗斯套娃。

下面请看最简单的递归代码:

#include <stdio.h>
int main()
{printf("hehe\n");main();//main函数中⼜调⽤了main函数return 0;
}

在上面的代码中,我们看到了main函数里再次调用了main函数,我们可以想象,这个程序会一直调用下去,直到,内存不够导致栈溢出(Stack overflow)。

1.1.递归的思想

递归的思想用一个词来讲就是“大事化小”。

其中代表递推代表回归。

1.2.递归的限制条件

刚刚我们看到,一直调用main函数的话,会造成死递归,因此,我们在使用递归时需要注意一些必要条件。

1.递归存在限制条件,当超过这个限制条件时递归就应该停止

2.每次递归应该越来越接近这个限制条件。 

接下来我们举几个例子来让大家体会一下这两个必要条件。

二、举例体会

2.1.求n的阶乘 

⼀个正整数的阶乘(factorial)是所有⼩于及等于该数的正整数的积,并且0的阶乘为1。
 
自然数n的阶乘写作 n! 。

经分析可知n! = n * (n-1) * (n-2)... * 3 * 2 * 1,而(n-1)! = (n-1) * (n-2) *...* 3 * 2 * 1。

所以n! = n * (n-1)!。

我们要求n的阶乘,只需要求n和n-1的阶乘的乘积,问题也就变成了求n-1的阶乘。经过一次递归,我们就从n变到n-1,那递归的次数足够了,我们就可以到最后的1的阶乘。那怎么得到n的阶乘呢,我们刚刚一步一步得到1的阶乘,那我们再一步一步乘回去,最终得到n的阶乘。

上述思路就是所谓的递归,也就是把一个较大的问题转换为与原问题相似的小问题。

当n = 0时,n! = 1。我们可以得到递推公式:

代码如下:

函数部分

int Fact(int n)
{if(n==0)return 1;elsereturn n*Fact(n-1);
}

总体

#include <stdio.h>
int Fact(int n)
{if(n==0)return 1;elsereturn n*Fact(n-1);
}
int main()
{int n = 0;scanf("%d", &n);int ret = Fact(n);printf("%d\n", ret);return 0;
}

测试结果

2.2.顺序打印整数的每一位

输入一个整数n,顺序打印其每一位。

input : 1234

output : 1 2 3 4

分析可知,1234/10 = 123,而1234%10 = 4。那我们可以巧妙的利用上述特性,得到1234的每一位。但是出现一个问题,我们获得的数字的顺序是倒着的,这该怎么办呢。我们可以仔细品味一下递归,递推和回归,先递推再回归。

我们就可以先进行/10的操作,再打印%10的余数,如下:

void Print(int n)
{if(n>9){Print(n/10);}printf("%d ", n%10);
}

画图推演一下:

代码如下:

#include<stdio.h>
void Print(int n)
{if (n > 9){Print(n / 10);}printf("%d ", n % 10);
}
int main()
{int m = 0;scanf("%d", &m);Print(m);return 0;
}

运行结果:

2.3.斐波那契数列

斐波那契数列(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称“兔子数列”,其数值为:1、1、2、3、5、8、13、21、34…… 

其递推公式为

用递推写出代码很简单:

#include<stdio.h>int Fib(int n) 
{if (n == 1 || n == 2)return 1;else return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}int main()
{int n = 0;scanf("%d", &n);printf("%d", Fib(n));return 0;
}

运行结果:

那如果让你不用递归的方法,你会怎么做呢? 

我们可以创建三个变量,就像两个数互相交换那样,将a赋值1,b赋值1,c为a与b的和。

n大于二之后才开始循环,所以我们可以这么写:

int Fib(int n) 
{int a = 1, b = 1,c = 0;while (n>2){c = a + b;a = b;b = c;n--;}return b;
}

 一个接着一个交换值,直到n等于2,退出循环,此时c的值赋给了b,而我们在n小于等于2的时候,求不出来c,而b的值正好是1,所以我们返回b的值。

三、递归与迭代

上面我们说了什么是递归,这又来个迭代,什么叫迭代呢?说白了通常就是循环。

比如刚才计算阶乘,我就不想用递归,那我就循环n次,也可以解决问题,并且该方法效率比递归高。

我们遇到的许多问题用递归解释的原因是因为,它比非递归好想好解释,但这些问题往往迭代比递归的效率更高。

我们说当一个问题非常复杂,难以用迭代的方式来解决时2,这时候递归实现的简洁性便可以补偿运行时的开销。

就像刚刚的例三,求斐波那契数列,使用迭代的方法就更加有效率。

如图所示,递归层次越深,冗余计算越多,我们可以简单测试一下

#include <stdio.h>
int count = 0;
int Fib(int n)
{if(n == 3)count++;//统计第3个斐波那契数被计算的次数if(n<=2)return 1;elsereturn Fib(n-1)+Fib(n-2);
}
int main()
{int n = 0;scanf("%d", &n);int ret = Fib(n);printf("%d\n", ret); printf("\ncount = %d\n", count);return 0;
}

 来看结果

这才是40,可想而知50会是多大的天文数字。

而迭代的方式,我们只需要前后一步一步相加即可。


最后总结一下,递归是一个很好的解决问题方式,在编程学习中,我们会经常用到它,但是它也不是万能的,还是需要我们多动脑思考。

我相信,我们总会找到解决办法的。

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