阶跃信号与冲击信号

奇异信号:信号与系统分析中,经常遇到函数本身有不连续点(跳变电)或其导函数与积分有不连续点的情况,这类函数称为奇异函数或奇异信号,也称之为突变信号。以下为一些常见奇异函数。

奇异信号

 单位斜变信号

斜变信号也称为斜坡信号斜升信号,指某一时刻随时间正比例增长的信号。如果增长率为1,就称为单位斜变函数

图像与表达式如下:

f(t)=\left\{\begin{matrix}0,t< 0 & & \\ t,t\geq 0 & & \end{matrix}\right.

将起点移至t0,图像与表达式为:

f(t-t0)=\left\{\begin{matrix}0,t< t0 & & \\ t-t0,t\geq t0 & & \end{matrix}\right.

单位阶跃函数

物理背景

在t=0时刻对某一电路接入单位电源,并且无限保持下去。单位阶跃函数通常以符号u(t)表示。
表达式为:

u(t)=\left\{\begin{matrix}1 ,t> 0 & & \\0,t< 0 & & \end{matrix}\right.

如果电源接入时间延迟到t0,则为一个“延时的阶跃函数”。即将起点移至t0,表达式为:

u(t-t0)=\left\{\begin{matrix}1,t> t0 & & \\ 0,t< t0 & & \end{matrix}\right.

图像分别如下所示,在跳变点处,函数值未定义(各不相同);或者在跳变处规定函数值为1/2

规定函数取极限的定义

给定一个如下的函数,求极限,便能得到阶跃函数。

几种定义

第一种定义:自变量为0时函数值不确定或不定义。

第二种定义:自变量为0时函数值为1/2。

第三种定义:自变量为0时,函数值为1。

阶跃函数的性质(作用)

斜变函数求导

单位斜变函数的导数等于单位阶跃函数,即df (t)/dt=u(t)。

表示矩形脉冲

用阶跃信号及其延时信号之差来表示矩形脉冲

对于如下信号用RT(t)来表示,下标T表示矩形脉冲出现在0到T时刻之间。公式可表示为:RT(t)=u(t) - u(t-T)。

如果矩形脉冲对于纵坐标左右对称,则以符号GT(t)来表示:GT(t)=u(t+T)-u(t-T)。下标表示其宽度。

表示分段常量信号

表示信号作用区间

利用阶跃函数的单边特性,即信号在某接入时刻t0以前的幅度为0。

积分

\int_{-\infty }^{t}u(\tau )d\tau =tu(\tau )


单位冲激信号

物理背景

某些物理现象需要用一个时间极短,但取值极大的函数来表示。例如中瞬间作用的冲击力,电学中的电击闪电等。冲激函数可用不同的方式来定义。图形如下:

规定函数取极限定义

首先以矩形脉冲为例。有一个宽为 \frac{1}{\tau } ,高位 \frac{1}{\tau } 的矩形脉冲,当保持矩形脉冲面积不变,而使宽趋近于0时,脉冲幅度必定为无穷大,此极限情况即为冲激函数,常记作: \delta (t)
如果矩形脉冲的面积不是固定为1,而是E,表示一个冲激强度为E倍单位值的冲激函数。(用图形表示时,强度E注于箭头旁)
规则函数系列的选型不限于矩形脉冲,也可用以下形式:三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形信号、Sa(t)信号(抽样信号)等。

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