python统计分析——泊松回归

参考资料：用python动手学统计学

概率分布为泊松分布、联系函数为对数函数的广义线性模型叫作泊松回归。解释变量可以有多个，连续型和分类型的解释变量也可以同时存在。

1、案例说明

分析不同气温与啤酒销量的关系。构造不同气温下的销量的数学模型，其线性预测算子如下：

$\beta_0+\beta_1 \times temp$

如果联系函数为对数函数，则啤酒销量与气温的关系如下：

$ln(beer)=\beta_0+\beta_1 \times temp$

对两边取指数，变形如下：

$beer=exp(\beta_0 + \beta_1 \times temp)$

2、导入库

# 导入库
# 用于数值计算的库
import numpy as np
import pandas as pd
import scipy as sp
from scipy import stats
# 用于绘图的库
from matplotlib import pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set()
# 用于估计统计模型的库
import statsmodels.formula.api as smf
import statsmodels.api as sm

3、数据准备

beer_num=[ 6, 11,  2,  4,  2,  2,  3,  5,  6,  7,  6, 11,  4, 16,  4, 13,  5,  7,  3,  5, 14, 22,  7, 11, 18, 17,  2,  2,  4, 16]
temp=[17.5, 26.6,  5. , 14.1,  9.4,  7.8, 10.6, 15.4, 16.9, 21.2, 17.6, 25.6, 11.1, 31.3,  5.8, 25.1, 17.5, 21.8,  9.2, 10.9, 29. , 34. , 14.4, 25.8, 31.3, 31.8,  7.6,  6.2, 10.1, 31.3]
beer=pd.DataFrame({'beer_num':beer_num,'temp':temp
})
beer.head()

4、泊松回归拟合

mod_pois=smf.glm('beer_num~temp',data=beer,family=sm.families.Poisson()).fit()
mod_pois.summary()

5、模型的选择

# 拟合空模型
mod_pois_null=smf.glm('beer_num~1',data=beer,family=sm.families.Poisson()).fit()
# 输出mod_pois_null和mod_pois的AIC
print('空模型：',mod_pois_null.aic.round(3))
print('气温模型：',mod_pois.aic.round(3))

两个模型相比，包含气温变量的模型的AIC更小，说明气温这个解释变量时必要的。

6、回归曲线

seaborn中的函数无法直接绘制出泊松回归的曲线，因而这里把所估计的模型的预测值绘制成散点图。

# 计算预测值
x=np.arange(0,37,1)
pred=mod_pois.predict(pd.DataFrame({'temp':x}))
# 绘制散点图
plt.scatter(x=beer.temp,y=beer.beer_num)
# 绘制预测曲线
plt.plot(x,pred)
# 添加坐标轴标题
plt.xlabel('temperature')
plt.ylabel('beer_numbers')