• 顺序（线性）查找
• 二分查找/折半查找
• 插值查找
• 斐波那契查找

线性查找

判断数列是否包含要求，如果找到了，就提示找到了，并给出下标值

// 线性查找
public static ArrayList<Integer> seqSearch(int[] arr, int value) {ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();for (int i = 0; i < arr.length; i++) {if (value == arr[i]) {list.add(i);}}return list;
}

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二分查找

需要对一个有序数组进行二分查找 {1, 8, 10, 89, 1000, 1234}，输入一个数
看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示”没有这个数”。

思路

1. 确定该数组的中间的下标

   可以向下取整，也可以向上取整。e.g:4.5向上取整为 5;向下去整为4，此处演示为向下取整
   

   mid=(left+right)/2

2. 让需要查找的数findVal和arr[mid]比较

   • findVal>arr[mid，说明你要查找的数在mid的右边，因此需要递归的向右查找
   • findVal<arr[mid]，说明你要查找的数在mid的左边，因此需要递归的向左查找
   • findVal==arr[mid说明找到，就返回

3. 递归结束

   • 找到就结束递归
   • 递归完整个数组，仍然没有找到findVal,也需要结束递归当Ieft>right就需要退出

/**
* 二分查找 ---要求数组为有序数组
* @param arr 需要查询的数组
* @param left 数组的最左侧下标
* @param right 数组的最右侧下标
* @param findVal 需要查询的值
* @return
*/
public static int binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {// 当 left > right 时，整个数组遍历后并未找到值if (left > right) {return -1;}int mid = (left + right) / 2;int midVal = arr[mid];if (findVal > midVal) {// 右递归return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);} else if (findVal < midVal) { // 向左递归return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);} else {return mid;}
}

二分优化—多索引返回

// 二分查找 ---要求数组为有序数组
public static ArrayList<Integer> binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {// 当 left > right 时，整个数组遍历后并未找到值if (left > right) {return new ArrayList<Integer>();}int mid = (left + right) / 2;int midVal = arr[mid];if (findVal > midVal) {// 右递归return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);} else if (findVal < midVal) { // 向左递归return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);} else {// 找到值ArrayList<Integer> resIndexList = new ArrayList<>();// 向 mid 的左右两边扫描
//            int temp = mid - 1;
//            while (true) {// 向左
//                if (temp < 0 || arr[temp] != findVal) {// 退出
//                    break;
//                }
//                // 否则，就temp 放入到resIndexList
//                resIndexList.add(temp);
//                temp -= 1; // temp左移
//            }
//            resIndexList.add(mid); // 将中间索引加入
//
//            temp = mid + 1;
//            while (true) {// 向右
//                if (temp > arr.length - 1 || arr[temp] != findVal) {// 退出
//                    break;
//                }
//                // 否则，就temp 放入到resIndexList
//                resIndexList.add(temp);
//                temp += 1; // temp右移
//            }// 再优化resIndexList.add(mid); // 将中间索引加入for (int i = mid - 1; i >= 0; i--) {// 向左if (arr[i] != findVal) {break;}resIndexList.add(i);}for (int i = mid + 1; i <= arr.length - 1; i++) {// 向右if (arr[i] != findVal) {break;}resIndexList.add(i);}return resIndexList;}
}

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插值查找

需要数组是有序，效率比二分查找更高效

• 插值查找算法类似于二分查找，不同的是插值查找每次从自适应mid处开始查找。

• 将折半查找中的求mid索引的公式，low表示左边索引，high表示右边索引right

• $mid=\frac{low+high}{2}=low+\frac{1}{2}(high-low)$ ➡️ $mid=low+\frac{key-a[low]}{a[high]-a[low]}(high-low)$ 【其中key为需要查找的值】

• 公式优化：int $midIndex=low+(high-low)\ast (key-arr[low])/(arr[high]-arr[low]);$

// 插值查找 ---要求数组为有序数组
// 其中key为需要查找的值
public static int insertValueSearch(int[] arr, int left, int right, int key) {// 注意：key < arr[0] || key > arr[arr.length - 1]必须要有（优化作用），否则可能会造成midIndex越界if (left > right || key < arr[0] || key > arr[arr.length - 1]) {return -1;}int midIndex = left + (right - left) * (key - arr[left]) / (arr[right] - arr[left]);int midVal = arr[midIndex];if (key > midVal) {// 向右扫描递归return insertValueSearch(arr, midIndex + 1, right, key);} else if (key < midVal) {// 向左扫描递归return insertValueSearch(arr, left, midIndex - 1, key);} else {return midIndex;}}

总结

• 对于数据量较大，关键字分布比较均匀的查找表来说，采用插值查找，速度较快
• 关键字分布不均匀的情况下，该方法不一定比折半查找要好

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斐波那契查找（黄金分割法）

需要数组是有序

• 黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意向不大的效果。
• 斐波那契数列{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55}发现斐波那契数列的两个相邻数的比例，无限接近黄金分割值0.618

原理

斐波那契查找原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点(mid)的位置，mid不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即$mid=low+F(k-1)-1$ (F代表斐波那契数列。k代表斐波那契个数)

对F(k-1)-1的理解：

• 由斐波那契数列$F[K]=F[k-1]+F[k-2]$的性质，可以得到$(F[k]-1)=(F[k-1]-1)+(F[k-2]-1)+1$
  该式说明：只要顺序表的长度为$F[k]-1$，则可以将该表分成长度为$F[k-1]-1$和$F[k-2]-1$的两段，从而中间位置为$mid=low+F(k-1)-1$

• 类似的，每一子段也可以用相同的方式分割

• 但顺序表长度$n$不一定刚好等于$F[K]-1$，所以需要将原来的顺序表长度n增加至$F[K]-1$。这里的$k$值只要能使得$F[k]-1$恰好大于或等于$n$即可，由以下代码得到，顺序表长度增加后，新增的位置（从$n+1$到$F[K]-1$位置)，都赋为$n$位置的值即可。

  while (high > f[k] - 1) {// 如果大于，则k++k++;
  }
  

注意：因为黄金分割点是第三段的前一段除以整段，之所以减1是因为数组是从0开始，所以$F[k]-1=(F[k-1]-1)+(F[k-2]-1)+分割点$，第三点，由于f(k) 有可能小于n（也就是high），就不满足斐波那契数列要求

// 使用非递归方法得到一个斐波那契数列
public static int maxSize = 20;// 后面需要mid=low+F(k-1)-1，因此先获取一个斐波那契数列
public static int[] fib() {int[] f = new int[maxSize];f[0] = 1;f[1] = 1;for (int i = 2; i < maxSize; i++) {f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];}return f;
}// 斐波那契查找 --- 非递归
// key为需要查找的关键码(值)
public static int fibSearch(int[] a, int key) {int low = 0;int high = a.length - 1;int k = 0; // 表示斐波那契分割数值的下标int mid = 0; // 存放a数组分割点int[] f = fib(); // 获取到斐波那契数列// 获取到斐波那契分割数值的下标// f[k] - 1 为临时数组的长度，不得小于a数组的长度while (high > f[k] - 1) {// 如果大于，则k++k++;}// f[k] 可能大于a 的长度，因此需要使用Arrays类构造一个新的数组，并指向temp[]// 不足的部分会使用0填充int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);// 实际上需要使用a数组的数填充temp// temp = {1, 8, 10, 80, 1000, 0, 0, 0} => {1, 8, 10, 80, 1000, 1000, 1000, 1000}for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {temp[i] = a[high];}// 使用while 来循环处理找到我们的数keywhile (low <= high) {mid = low + f[k - 1] - 1;if (key < temp[mid]) {// 向左边查找high = mid - 1;// f[k] = f[k-1] + f[k-2]，之后f[k-1]继续拆分，因此k--k--;} else if (key > temp[mid]) { // 向右查找low = mid + 1;// f[k] = f[k-1] + f[k-2]，之后f[k-2]继续拆分// f[k-1] = f[k-3] + f[k-4]，因此k -=2k -= 2;} else {// 找到if (mid <= high) {return mid;} else {return high;}}}return -1;
}