离散数学

(理解大于识记, 这么多公式我是记不住)

命题逻辑

$P$	$Q$	$\neg P$ 否定/非	$\wedge Q$ 合取/与	$\vee Q$ 析取/或	$\to Q$ 蕴含	$\leftrightarrow Q$ 等价
0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0
1	1	0	1	1	1	1

$P\to Q$ 的自然语言
充分条件: 如 $P$ 则 $Q$ , 只要 $P$ 就 $Q$ .
必要条件: $P$ 仅当 $Q$ , 只有 $Q$ 才 $P$ , 除非 $Q$ 才 $P$ , 除非 $Q$ 否则 $\neg P$ .

永真公式(重言); 永假公式(矛盾); 可满足公式.

联结词完备集: $\{S,\wedge,\vee,\neg\}$ ; $\{S,\wedge,\neg\}$ ; $\{S,\vee,\neg\}$ .

析取式(子句): 有限个变元的析取.
合取式(短语): 有限个变元的合取.
析取范式: 有限个短语的析取.
合取范式: 有限个子句的合取.
化简: ①取代等价蕴含; ②De MoRGen和双重否定律去掉多余否定; ③分配律进一步化简.

最简式: 变元及否定存在且只存在一个, 变元间次序唯一.
极小项(最简合取式); 极大项(最简析取式); $n$ 个变元各有 $2^n$ 个极小项和极大项.
全部极小项的析取永真, 全部极大式的合取永假.
主析取范式: 有限个极小式的析取.
主合取范式: 有限个极大式的合取.
求主范式方法: ①化简; ②补项并分配律: 求主析取补 $(\neg P\vee P)$ , 求主合取补 $(\neg P\wedge P)$ ; ③剩余极小项析取(极大项合取)的否定即得主合取(主析取) - 即主范式项数和为 $2^n$ .

等价公式: 交换律, 结合律, 分配律, 双重否定律, De MoRGan 律.
幂等律: $G\wedge G=G$ , $G\vee G=G$ .
吸收律: $G\vee(G\wedge H)=G$ , $G\wedge(G\vee H)=G$ .
同一律: $G\wedge 0=G$ , $G\vee 1=G$ .
零律: $G\wedge 1=1$ , $G\vee 0=0$ .
排中律: $G\vee\neg G=1$ .
矛盾律: $G\wedge\neg G=0$ .
等价: $G\leftrightarrow H=(G\to H)\wedge(H\to G)$ .
蕴含: $G\to H=\neg G\vee H$ .
假言易位: $G\to H=\neg H\to\neg G$ .
等价否定: $G\leftrightarrow H=\neg G\leftrightarrow\neg H$ .
归谬: $(G\to H)\wedge(G\to\neg H)=\neg G$ .
代入: 永真公式中某一变元永相同公式代入仍为永真.
替换: 原公式与其中出现的子公式被恒等公式替换后得到的新公式等价.
反演: 反演公式为原公式否定; 交换 $\vee$ 和 $\wedge$ , $0$ 和 $1$ , 所有变元取反.
对偶: 等价公式各自的对偶公式仍等价; 交换 $\vee$ 和 $\wedge$ , $0$ 和 $1$ .
异或: $A\bar{\wedge} B=\neg(A\leftrightarrow B)$ .
蕴含否定: $A\not\to B=\neg(A\to B)$ .
与非: $A\uparrow B=\neg(A\wedge B)$ .
或非: $A\downarrow B=\neg(A\vee B)$ .

形式推理 $G_1,G_2,...,G_n\implies H$ 有效(成立, 不一定有真实性)当且仅当 $\bigwedge_{i=1}^n G_i\to H$ 永真.
简化规则: $G\wedge H\implies G,H$ .
添加规则: $G\implies G\vee H$ ; $H\implies G\vee H$ .
$\neg G\implies G\to H$ ; $H\implies G\to H$ ; $\neg(G\to H)\implies G,\neg H$ ; $G,H\implies G\wedge H$ .
选言三段论: $\neg G,G\vee H\implies H$ ; $\neg G,G\bar{\vee}H\implies H$ .
肯定前件: $G,G\to H\implies H$ .
否定后件: $\neg H,G\to H\implies \neg G$ .
假言三段论: $G\to H,H\to I\implies G\to I$ .
二难推论: $G\wedge H,G\to I,H\to I\implies I$ .
演绎法: 规则 P(前提引用); 规则 T(逻辑结果引用); 规则 CP(附加前提).
反证法: $G_1,G_2,...,G_n,\neg H$ 不一致(不相容), 即 $\bigwedge_{i=1}^n G_i\wedge\neg H$ 永假(矛盾)时, 形式推理有效.