57. 爬楼梯（第八期模拟笔试）
题目描述
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

输入描述
输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m
输出描述
输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。
输入示例
3 2
输出示例
3
提示信息
数据范围：
1 <= m < n <= 32;

当 m = 2，n = 3 时，n = 3 这表示一共有三个台阶，m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。

此时你有三种方法可以爬到楼顶。

1 阶 + 1 阶 + 1 阶段
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶

本题思想可以辅助理解完全背包。因为每次可以爬m蹬，现在所处的位置可以由前1,2,3……m蹬到达，因此可以由dp[j-1]+1 +dp[j-2]+1+……+dp[j-m]+1得到。dp[0]为1完全是为了递推公式比较好计算。

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main() {int n,m;cin>>n>>m;std::vector<int> dp(n+1,0);dp[0] = 1;for (int i = 1; i<=n; i++) {for (int j = 1; j<=m; j++) {// 向前找m个位置，各个位置都可以到达i，因此累加前面的结果if (i-j >= 0) dp[i] += dp[i-j];}}cout<<dp[n];
}

322. 零钱兑换

找最小，递推公式为dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1);因为与是组合还是排列无关，因此按照我最好理解的遍历方式先物品，后背包来遍历更容易理解。初始化时因为要找所有的最小值，因此初始化为INT_MAX，dp[0]初始化为0。最后的结果中如果dp[amount]如果是INT_MAX，证明遍历没有到达这个点，就是一种方法都没有，更别提最小的方法了。

class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {// 定义数组，大小为背包容量金额amount， 初始化为最大值，因为后面要去最小值vector<int> dp(amount+1, INT_MAX);// dp[0]初始化为0，表示0空间的背包容量装的个数为0dp[0] = 0;// 组合数，物品遍历在外层，容量遍历在内层for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) {// 如果前面的没有初始化过，则跳过dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1);}}}// 如果最后没有到达右下角的结果，返回-1if (dp[amount] == INT_MAX)  return -1;return dp[amount];}
};

518. 零钱兑换 II
零钱兑换II是找到有多少种方法，dp[j]表示装满容量j的方法数。递推公式为： dp[j] += dp[j-coins[i]]。

class Solution {
public:int change(int amount, vector<int>& coins) {vector<int> dp(amount+1, 0);dp[0] = 1;// 先物品，后背包容量，组合数for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {// dp[j]表示j容量填满有多少种方法dp[j] += dp[j-coins[i]];}}return dp[amount];}
};

279. 完全平方数
和零钱兑换是一个意思，但是这里没有给出nums数组，需要自己想办法解决。nums数组的值为1 4 9 16……要找到最小的值，递推公式为：dp[j] = min(dp[j], dp[j-i*i] + 1)。初始化和零钱兑换一样。

class Solution {
public:int numSquares(int n) {// 容量为n，想要装填满nvector<int> dp(n+1, INT_MAX);dp[0] = 0;// 外层物品，内层背包，要使i*i小于边界for (int i = 1; i*i <= n; i++) {// j的大小从i开始，寻找完全平方数，某些不是完平方的被INT_MAX屏蔽了for (int j = i*i; j <=n; j++) {dp[j] = min(dp[j], dp[j-i*i] + 1);}}return dp[n];}
};