LASSO算法

LASSO (Least Absolute Shrinkage and Selection Operator) 是一种回归分析的方法,它能够同时进行变量选择和正则化,以增强预测准确性和模型的解释性。LASSO通过在损失函数中加入一个L1惩罚项来实现这一点。该惩罚项对系数的绝对值进行约束。

基本概念

在一个线性回归模型中,我们通常寻找权重向量 x x x,使得 ∥ A x − b ∥ 2 2 \|Ax - b\|_2^2 Axb22 (二范数平方,即平方误差) 尽可能小,其中 A A A 是特征矩阵, b b b 是观察值向量。在LASSO回归中,我们求解的优化问题变为:

min ⁡ x { ∥ A x − b ∥ 2 2 + λ ∥ x ∥ 1 } \min_x \left\{ \|Ax - b\|_2^2 + \lambda\|x\|_1 \right\} xmin{Axb22+λx1}

这里 ∥ x ∥ 1 \|x\|_1 x1 表示 x x x 的L1范数(俗称为曼哈顿距离,即系数的绝对值之和), λ \lambda λ 是正则化系数,它决定了添加到模型中的惩罚的严重程度。

LASSO算法的关键特点是,在参数 λ \lambda λ 足够大时,一些系数可以被缩减为零,即模型可以排除一些特征对输出的影响。这可以解释为模型自动进行特征选择。

示例

以下是一个简单的例子和用MATLAB实现的过程:

首先创建一些合成数据,如用户之前的输入所示。我们使用 randn 函数生成正态分布的随机数,创建了一个100x10的矩阵 A A A 作为特征矩阵,以及一个有两个非零项的系数向量 x x x。然后我们计算观察值向量 b b b,并添加一些噪声。

使用MATLAB内置的 lasso 函数,我们可以拟合一个LASSO模型。lasso 函数还允许我们进行交叉验证(通过参数 'CV', 10)来选择合适的 λ \lambda λlassoPlot 函数用于可视化交叉验证结果。最后,我们选取最佳的系数向量,并且对选取的系数再进行一次普通最小二乘回归,即所谓的"去偏置"步骤。

MATLAB代码

这是用MATLAB实现的步骤展示:

% 创建特征矩阵和观察值
A = randn(100,10);
x = [0; 0; 1; 0; 0; 0; -1; 0; 0; 0];
b = A*x + 2*randn(100,1);% L2-正则化(最小二乘)
xL2 = pinv(A)*b;% LASSO回归
[XL1, FitInfo] = lasso(A, b, 'CV', 10);% LASSO交叉验证结果可视化
lassoPlot(XL1, FitInfo, 'PlotType', 'CV');% 选择1标准误差规则下的系数
xL1 = XL1(:, FitInfo.Index1SE);% 去偏置
xL1DeBiased = pinv(A(:, abs(xL1) > 0)) * b;

在这个例子中,最后的步骤是进行去偏置(De-Biasing)。由于LASSO倾向于收缩系数,为了获得无偏的预测,通常会在LASSO选择的特征上运行一个没有正则化的线性回归。通过选择那些在LASSO模型下非零的系数作为特征,我们可以再次使用普通的最小二乘估计(也就是 pinv(A(:, abs(xL1) > 0)) * b)来获得去偏的系数估计 xL1DeBiased

运行结果

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