二分图的原始模型及相关概念

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。

设G=(V,E)G=(V,E)是一个无向图。

如顶点集V可分割为两个互不相交的子集（A, B），并且图中每条边(i，j)所关联的两个顶点 i 和 j 就都分属两个不同的子集。则称图G为二分图，因此将上边顶点集合称为X 集合，下边顶点结合称为Y集合，如下图，就是一个二分图。​

给定一个二分图G(无向图)，在G的一个子图M中，M图中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配.

选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题

如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。

增广路（交错路）：路径的起点和终点都是还没有匹配过的点，并且路径经过的连线是一条没被匹配，一条已经匹配过，再下一条又没有匹配这样交替的出现。找到这样的路径过后，显然路径里没有被匹配的连线比已经匹配了的连线多一条，于是修改匹配图，把路径里所有匹配过的连线去掉匹配关系，把没有匹配的连线变成匹配的，这样匹配数就比原来多1个。

求解二分图最大匹配

匈牙利算法

匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

-------等等，看得头大？那么请看下面的版本：

通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思，你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。

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本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣（也就是二分图最大匹配数），匈牙利算法的工作模式会教你这样做：

1. 先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，那就连上一条蓝线

2.接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，也连上蓝线

3.接下来轮到3号男生了，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？

我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。

(黄色表示这条边被临时拆掉)

与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配，重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)

此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去

2号男生可以找3号妹

 1号男生可以找2号妹子了

 3号男生可以找1号妹子

所以第三步最后的结果就是：

4.接下来是4号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了

这就是匈牙利算法的流程，其中找妹子是个递归的过程，最最关键的字就是“ 腾”字

其原则大概是：有机会上，没机会创造机会也要上

代码：

bool find(int x){int i,j;for (j=1;j<=m;j++){    //扫描每个妹子if (line[x][j]==true && used[j]==false)//uesd数组表示第i个女生在这次找增广路当中，是否被查看过。//如果有暧昧并且还没有标记过(这里标记的意思是这次查找曾试图改变过该妹子的归属问题，但是没有成功，所以就不用瞎费工夫了）{used[j]=1;if (girl[j]==0 || find(girl[j])) { //link数组表示第 j 个女生匹配的男生//名花无主或者能腾出个位置来，这里使用递归girl[j]=x;return true;}}}return false;}

在主程序我们这样做：每一步相当于我们上面描述的一二三四中的一步

for (i=1;i<=n;i++)
{memset(used,0,sizeof(used));    //这个在每一步中清空if find(i) all+=1;