C++ 二分法

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1、704. 二分查找 

2、34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

3、69. x的平方根

4、35. 搜索插入位置

5、852. 山脉数组的峰顶索引 

6、162. 寻找峰值

7、153. 寻找旋转排序数组中的最小值 

8、LCR 173. 点名 

1、704. 二分查找 

​

class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < target)left = mid + 1;else if (nums[mid] > target)right = mid - 1;elsereturn mid;}return -1;}
};

思路：

首先，定义了两个变量left和right，分别表示数组的左边界和右边界。初始时，left被设置为数组的第一个元素的索引（0），right被设置为数组的最后一个元素的索引（nums.size() - 1）。

然后，使用一个循环来执行二分查找。循环条件是left小于等于right，这表示还存在未查找的区间。在二分查找算法中，使用left <= right作为循环条件是为了处理以下两种情况：

  1. 当查找区间只剩下一个元素时，即left和right指向同一个位置时，仍然需要进行一次比较。如果使用left < right作为循环条件，那么在这种情况下循环会提前结束，导致无法正确判断目标值是否存在。

  2. 当查找区间为空时，即left大于right时，循环条件为假，可以直接退出循环。这种情况下，表示目标值不存在于数组中。

在每次循环中，首先计算中间元素的索引mid，通过将左边界和右边界与左边界之差相加除以2得到。这样可以将查找区间缩小一半，并且不会超出整形范围。

接下来，通过比较中间元素nums[mid]和目标值target的大小关系，来确定下一步的查找方向。

  • 如果nums[mid]小于target，说明目标值在右半部分，将left更新为mid + 1，缩小查找区间为右半部分。
  • 如果nums[mid]大于target，说明目标值在左半部分，将right更新为mid - 1，缩小查找区间为左半部分。
  • 如果nums[mid]等于target，说明找到了目标值，直接返回mid作为结果。

如果循环结束时仍然没有找到目标值，即left大于right，则返回-1表示未找到。

2、34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

​

class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {if (nums.size() == 0)return {-1, -1};int left = 0, right = nums.size() - 1;int begin = 0;// 使用二分查找找到目标值的最左边界while (left < right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < target)left = mid + 1;elseright = mid;}// 检查最左边界的元素是否为目标值if (nums[left] != target)return {-1, -1};elsebegin = left;left = 0, right = nums.size() - 1;// 使用二分查找找到目标值的最右边界while (left < right) {int mid = left + (right - left + 1) / 2;if (nums[mid] <= target)left = mid;elseright = mid - 1;}return {begin, right};}
};

思路：寻找左右边界

首先，检查数组是否为空，如果为空，则直接返回{-1, -1}表示未找到目标值。

初始化左边界left为0，右边界right为数组长度减1。

使用二分查找来找到目标值的最左边界。循环条件是left < right。

  1. 在每次循环中，计算中间元素的索引mid。
  2. 比较中间元素nums[mid]与目标值target的大小关系：
    1. 如果nums[mid]小于目标值，说明目标值在右半部分，将left更新为mid + 1，缩小查找区间为右半部分。
    2. 如果nums[mid]大于等于目标值，说明目标值在左半部分，将right更新为mid，缩小查找区间为左半部分。
  3. 检查最左边界的元素是否为目标值。如果不是目标值，则表示未找到目标值，直接返回{-1, -1}。

将最左边界left赋值给begin，作为目标值的起始位置。

重新初始化left和right，继续使用二分查找来找到目标值的最右边界。循环条件是left < right。

  1. 在每次循环中，计算中间元素的索引mid，。
  2. 比较中间元素nums[mid]与目标值target的大小关系：
    1. 如果nums[mid]小于等于目标值，将left更新为mid，缩小查找区间为右半部分。
    2. 如果nums[mid]大于目标值，将right更新为mid - 1，缩小查找区间为左半部分。
  3. 返回结果为{begin, right}，其中begin为目标值的最左边界，right为目标值的最右边界。

​

3、69. x的平方根

​ 

思路：寻找左右边界 

首先，检查输入的数x是否小于1，如果是，则直接返回0。

然后，定义了两个变量left和right，分别表示查找区间的左边界和右边界。初始时，left被设置为1，right被设置为x。

接下来，使用二分查找来逼近平方根的值。循环条件是left < right，这表示还存在未查找的区间。

在每次循环中，首先计算中间元素的值mid，通过将左边界和右边界相加除以2得到。这里使用了(right - left + 1) / 2来确保向上取整，以保证查找区间向上移动。

然后，通过比较中间元素的平方mid * mid与目标值x的大小关系，来确定下一步的查找方向。

  • 如果mid * mid小于等于x，说明平方根在右半部分，将left更新为mid，缩小查找区间为右半部分。
  • 如果mid * mid大于x，说明平方根在左半部分，将right更新为mid - 1，缩小查找区间为左半部分。

最后，循环结束时，left和right相等，表示找到了平方根的整数部分。返回left作为结果。

class Solution {
public:int mySqrt(int x) {if (x < 1)return 0;int left = 1, right = x;while (left < right) {long long mid = left + (right - left + 1) / 2;if (mid * mid <= x)left = mid;elseright = mid - 1;}return left;}
};

​

4、35. 搜索插入位置

​

思路：寻找左边界 

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left < right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < target)left = mid + 1;elseright = mid;}if (nums[left] < target)return right + 1;elsereturn right;}
};

 思路：寻找右边界 

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left < right) {int mid = left + (right - left + 1) / 2;if (nums[mid] <= target)left = mid;elseright = mid - 1;}if (nums[left] < target)return right + 1;elsereturn right;}
};

​

5、852. 山脉数组的峰顶索引 

思路：寻找左边界  

class Solution {
public:int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {int left = 1, right = arr.size() - 2;while (left < right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (arr[mid] < arr[mid + 1])left = mid + 1;elseright = mid;}return left;}
};

思路：寻找右边界  

class Solution {
public:int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {int left = 1, right = arr.size() - 2;while (left < right) {int mid = left + (right - left + 1) / 2;if (arr[mid] > arr[mid - 1])left = mid;elseright = mid - 1;}return left;}
};

两个解决方案都是有效的，并且都具有 O(log(n)) 的时间复杂度。它们的区别在于二分查找的条件判断。

  • 第一个解决方案中，二分查找的条件判断是 arr[mid] > arr[mid - 1]，即判断当前位置的元素是否大于前一个元素。如果满足这个条件，则说明峰值在当前位置或右侧，将 left 更新为 mid；否则，峰值在左侧，将 right 更新为 mid - 1。
  • 第二个解决方案中，二分查找的条件判断是 arr[mid] < arr[mid + 1]，即判断当前位置的元素是否小于后一个元素。如果满足这个条件，则说明峰值在右侧，将 left 更新为 mid + 1；否则，峰值在左侧或当前位置，将 right 更新为 mid。

6、162. 寻找峰值

 思路：寻找左边界 

class Solution {
public:int findPeakElement(vector<int>& nums) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left < right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < nums[mid + 1])left = mid + 1;elseright = mid;}return left;}
};

 思路：寻找右边界  

class Solution {
public:int findPeakElement(vector<int>& nums) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left < right) {int mid = left + (right - left + 1) / 2;if (nums[mid] > nums[mid - 1])left = mid;elseright = mid - 1;}return left;}
};

7、153. 寻找旋转排序数组中的最小值 

 思路：以最右端点为基准点进行比较，逐渐缩小范围。

class Solution {
public:int findMin(vector<int>& nums) {int left = 0, right = nums.size() - 1;int x = nums[right];while (left < right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] > x)left = mid + 1;elseright = mid;}return nums[left];}
};

8、LCR 173. 点名 

思路：根据数组元素与下标相等和不相等划分两个区间，最后，如果元素与其下标不相等，则返回其下标即为所缺元素；如果元素与其下标相等，则所缺元素为数组最大元素加一，即为left或right加一。

class Solution {
public:int takeAttendance(vector<int>& records) {int left = 0, right = records.size() - 1;while (left < right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (records[mid] == mid)left = mid + 1;elseright = mid;}return left == records[left] ? left + 1 : left;}
};

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