探索无限维度的奥秘：Hilbert空间

当我们提到空间，你可能会立即想到周遭的环境——三维世界，其中事物可以向上或向下、左或右、前或后移动。然而，在数学和物理学的世界里，有一种抽象的空间概念，它不仅覆盖了我们的三维空间，还包括了更复杂的无限维度世界。这个概念就是Hilbert空间。

什么是Hilbert空间？

Hilbert空间得名于德国数学家David Hilbert，它是一个完备的内积空间。这句话含有三个关键词：完备、内积和空间。

空间：这里的空间不是我们日常生活的物理空间，而是一个数学概念，指的是一组元素的集合，这些元素可以以数学上的方式互动——可以相加，也可以乘以数值（标量）。
内积：内积是一个函数，它能够接受空间中的两个元素并返回一个数值，以表示这两个元素之间的某种“相似性”，例如在二维或三维空间中，内积就可以表示为点乘。
完备：如果一个空间是完备的，那么在这个空间里的任何序列，只要它们按照一定规则收敛到某个点，这个点仍旧在这个空间里，换句话说，序列的极限点不会“跑出去”。

Hilbert空间的重要特性

线性：在Hilbert空间中，如果你将两个元素相加，或者将一个元素乘以数值，结果仍然在这个空间里。
内积：如前所述，内积可以用来定义元素之间的角度和长度（诸如正交性和规范）。
完备性：所有序列若收敛，则收敛点在空间内。
无限维度：Hilbert空间可以有无限多的维度，这使得它能够描述如量子力学这类复杂的科学。
正交基：Hilbert空间拥有一组基，构成空间的“坐标系”，而且这些基是正交的，意味着基与基之间互相之间的内积是0。

数值演示示例

让我们想象一个简单的Hilbert空间——实数平面上的所有长度为1的向量组成的空间。这些向量的一个例子是 (1/√2, 1/√2) 和 (-1/√2, 1/√2)。这个例子中的内积可以定义为两个向量的点乘，例如：

v1 = (1/√2, 1/√2)
v2 = (-1/√2, 1/√2)内积 = v1[0]*v2[0] + v1[1]*v2[1]
内积 = (1/√2)*(-1/√2) + (1/√2)*(1/√2)
内积 = -1/2 + 1/2
内积 = 0

这两个向量的内积是0，意味着它们在这个空间中正交。

使用Python实现的示例

在Python中，我们可以使用numpy库来演示Hilbert空间中的向量的操作。这里我们实现一个简单的二维Hilbert空间，其中内积就是向量的点乘。

import numpy as np# 定义两个向量
v1 = np.array([1/np.sqrt(2), 1/np.sqrt(2)])
v2 = np.array([-1/np.sqrt(2), 1/np.sqrt(2)])
v1.getLength = lambda: np.sqrt(np.dot(v1, v1))
v2.getLength = lambda: np.sqrt(np.dot(v2, v2))# 计算内积
inner_product = np.dot(v1, v2)# 打印结果
print("内积:", inner_product)
print("v1的长度:", v1.getLength())
print("v2的长度:", v2.getLength())

运行上述代码段，将会得到两个向量（在我们这个Hilbert空间中的元素）的内积是0，并且每个向量的长度是1。

在现实世界中，特别是在量子力学和信号处理等领域，Hilbert空间用于描述复杂的系统，它们通常远远超出我们的可视化能力。但是，即使是这样，了解这些无限维空间的基本原理对于深入理解现代科学领域的多个方面仍然非常重要。

我的图书

下面两本书欢迎大家参考学习。

OpenCV轻松入门

李立宗，OpenCV轻松入门，电子工业出版社，2023
本书基于面向 Python 的 OpenCV(OpenCV for Python)，介绍了图像处理的方方面面。本书以 OpenCV 官方文档的知识脉络为主线，并对细节进行补充和说明。书中不仅介绍了 OpenCV 函数的使用方法，还介绍了函数实现的算法原理。

在介绍 OpenCV 函数的使用方法时，提供了大量的程序示例，并以循序渐进的方式展开。首先，直观地展示函数在易于观察的小数组上的使用方法、处理过程、运行结果，方便读者更深入地理解函数的原理、使用方法、运行机制、处理结果。在此基础上，进一步介绍如何更好地使用函数处理图像。在介绍具体的算法原理时，本书尽量使用通俗易懂的语言和贴近生活的实例来说明问题，避免使用过多复杂抽象的公式。

本书适合计算机视觉领域的初学者阅读，包括在校学生、教师、专业技术人员、图像处理爱好者。
本书第1版出版后，深受广大读者朋友的喜爱，被很多高校选为教材，目前已经累计重印9次。为了更好地方便大家学习，对本书进行了修订。
在这里插入图片描述

计算机视觉40例

李立宗，计算机视觉40例，电子工业出版社，2022
近年来，我深耕计算机视觉领域的课程研发工作，在该领域尤其是OpenCV-Python方面积累了一点儿经验。因此，我经常会收到该领域相关知识点的咨询，内容涵盖图像处理的基础知识、OpenCV工具的使用、深度学习的具体应用等多个方面。为了更好地把所积累的知识以图文的形式分享给大家，我将该领域内的知识点进行了系统的整理，编写了本书。希望本书的内容能够对大家在计算机视觉方向的学习有所帮助。
本书以OpenCV-Python（the Python API for OpenCV）为工具，以案例为载体，系统介绍了计算机视觉从入门到深度学习的相关知识点。
本书从计算机视觉基础、经典案例、机器学习、深度学习、人脸识别应用等五个方面对计算机视觉的相关知识点做了全面、系统、深入的介绍。书中共介绍了40余个经典的计算机视觉案例，其中既有字符识别、信息加密、指纹识别、车牌识别、次品检测等计算机视觉的经典案例，也包含图像分类、目标检测、语义分割、实例分割、风格迁移、姿势识别等基于深度学习的计算机视觉案例，还包括表情识别、驾驶员疲劳监测、易容术、识别年龄和性别等针对人脸的应用案例。
在介绍具体的算法原理时，本书尽量使用通俗易懂的语言和贴近生活的示例来说明问题，避免使用复杂抽象的公式来介绍。
本书适合计算机视觉领域的初学者阅读，适于在校学生、教师、专业技术人员、图像处理爱好者使用。

在这里插入图片描述