相似对角化 和 对角化 很大程度上是一回事
甚至判断两个矩阵的相似性，也跟对角化有很大关系

参考视频1：https://www.bilibili.com/video/BV1PA411T7b5/?spm_id_from=333.788&vd_source=7a1a0bc74158c6993c7355c5490fc600

参考视频2：https://www.bilibili.com/video/BV14T4y127jf/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=7a1a0bc74158c6993c7355c5490fc600

参考视频3：https://www.bilibili.com/video/BV1Js4y1372V/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=7a1a0bc74158c6993c7355c5490fc600

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如下图的矩阵其实可以看成一个 “基向量” 变换，它把 (1, 0) 变成 (2, 1)，把 (0, 1) 变成 (1, 2)

同时，我们把自然基下的矢量，使用上述矩阵进行变换时，大部分矢量的方向会被改变，但有部分矢量的方向是不会被改变的，如下图，这类矢量我们就称为特征向量

平面内还有另一个特征向量 (它总是保持不变吗？还是说只是因为特征值刚好是 1？与原特征向量垂直是必须的吗？)
这两个特征向量，似乎在自然基和变换基下，都是垂直的？

此时，可以把这两个特征向量作为一组新的基，那么，原来的变换矩阵在这个新的基下的作用就只是把矢量进行伸缩。于是，原来的变换矩阵在这个新的基下的作用就可以使用一个 “对角阵” 来表示

因此，这个 对角阵 和 原来的变换矩阵 是相似的。
X 和 X^(-1) 就是基变换矩阵，它们由 自然基 下的特征向量构成
一个更好的理解是，原来的变换矩阵可以拆分成：
1.先把自然基下的矢量映射到 “特征向量构成的一组基” 上
2.在 “特征向量构成的一组基” 上对矢量进行变换 （实际上就是伸缩）
3.再把变换后的矢量映射回 自然基 上

当我们把 基变换矩阵 的顺序改变时，对角矩阵的顺序也需要变换

此时就可以明白，一个矩阵能否相似对角化的充要条件是 “它的特征向量能否构成一组基”

构成一组基的条件：即这组特征向量是线性无关的

更精确的说法：矩阵A 有 n 个线性无关的特征向量

以下是一个小的引理
若有 n 个不同的特征值 =====> 则 A 有 n 个线性无关的特征向量 (不同特征值对应的特征向量线性无关)
NOTE: 反过来不一定成立哦！

如下图，是一个例子：
若三阶矩阵有三个特征值，那么它就可对角化，因为它拥有三个线性无关的特征向量
若只有 1, 2, 2，那就要重点关注 (lamda = 2) 所对应的特征向量，若它们线性无关，则可对角化；否则不行

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以下是一个求特征值、特征向量，从而把矩阵相似对角化的例子：

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当 lamda1 = lamda2 = 2 时，我们发现求出的矩阵只有一个非零行，那么也就是说它的 “自由未知量” 是 2。
这其实暗含了 “我们能够得到两个线性无关非零解” 的意思，也就说这个矩阵是可以相似对角化的