一、斐波那契数列

1. 基础知识

斐波那契数列是由 $<1,1,2,3,5,8,...>$ 构成的一串无线序列，其基础项是前两项 $1$ 和 $1$，从 $3$ 开始求解方法为 $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$。

2. 审题

题目描述

斐波那契数列是这样的数列：数列的第一项和第二项都为 $1$，接下来的每一项都等于前面两项之和。给出一个整数 $n$，输出斐波那契数列前n项。

输入描述

一行，包含一个整数 $n$

输出描述

一行，斐波那契数列前 $n$ 项，两个数字之间以一个空格隔开

样例1

输入

4

输出

1 1 2 3

提示

$1\le n\le 20$

3. 参考答案

#include <iostream>
using namespace std;long long n;
long long f[25] = {0, 1, 1};int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){if (i <= 2){cout << 1 << " ";continue;}f[i] = f[i-1] + f[i-2];cout << f[i] << " ";}return 0;
}

二、P2437 蜜蜂路线

1. 审题

题目描述

一只蜜蜂在下图所示的数字蜂房上爬动，已知它只能从标号小的蜂房爬到标号大的相邻蜂房,现在问你：蜜蜂从蜂房 $M$ 开始爬到蜂房 $N$，$M<N$，有多少种爬行路线？例如从蜂房 $1$ 爬到蜂房 $3$，有两种方法，分别是 $1-3$；$1-2-3$。

输入描述

一行，包含两个正整数 $M$ 和 $N$，表示蜜蜂爬行的起点和终点。

输出描述

一个整数，表示爬行路线有多少种

样例1

输入

1 14

输出

377

提示

$1\le M<N\le 20$

2. 参考答案

#include<iostream>
using namespace std;int s, e;
int l[25] = {0, 1, 2};int main()
{cin >> s >> e;for (int i = 3; i <= e-s+1; i++){l[i] = l[i-1] + l[i-2];}cout << l[e-s];return 0;
}

三、杨辉三角

1. 基础知识

$1$
$1$ $1$
$1$ $2$ $1$
$1$ $3$ $3$ $1$
$1$ $4$ $6$ $4$ $1$

规律
$$f(i,j)=f(i-1,j-1)+f(i-1,j)$$
用文字表述，即某一项相当于这一项左上方那一项加上这一项上方那一项。

基础项
仅仅只有第一行的 $1$ 。

2. 审题

题目描述

满足如下图所示规律的三角形称为杨辉三角。输入一个正整数 $n$ 表示三角形的层数，在控制台打印出该杨辉三角。

输入描述

输入文件名：tria.in
一行，包含一个正整数 $n$（$0<n<21$）

输出描述

输出文件名：tria.out
杨辉三角前 $n$ 行

样例1

输入

3

输出

1
1 1
1 2 1

提示

$0<n<21$

3. 参考答案

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;int n;
int a[25][25];int main()
{freopen("tria.in", "r", stdin);freopen("tria.out", "w", stdout);cin >> n;a[0][0] = 1; // 基础项for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= i; j++){a[i][j] = a[i-1][j-1] + a[i-1][j];cout << a[i][j] << " ";}cout << endl;}fclose(stdin);fclose(stdout);return 0;
}

四、猴子分桃

1. 审题

题目描述

海滩上有一堆桃子，$N$ 只猴子来分。第一只猴子把这堆桃子中的一个扔入海中，然后将剩余的桃子平均分成两份，最后这只猴子拿走了 $1$ 份。第二只猴子来了接着把剩下的桃子中的一个扔入海中，然后把剩余的桃子平均分成 $2$ 份，开开心心拿走了 $1$ 份。第三、第四、……，第 $N$ 只猴子都是将剩下的桃子中的一个扔入海中，然后将剩余的桃子平均分成 $2$ 份，并拿走其中的 $1$ 份。最后只剩下 $1$ 个桃子。编写程序，输入猴子的数量 $N$，输出海滩上原有多少桃子。

输入描述

一行，包含一个正整数 $N$（$0<N<21$）

输出描述

一个整数， 海滩上原有多少桃子

样例1

输入

2

输出

7

提示

$0<N<21$

2. 思路

通过逆推的方式，我们求得：
$$f(n)=f(n-1)\times 2+1$$

3. 参考答案

递推算法

#include <iostream>
using namespace std;int n;
int a[25];int main()
{cin >> n;a[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++){a[i] = a[i-1] * 2 + 1;}cout << a[n];return 0;
}

递归算法

#include <iostream>
using namespace std;int n; // n记得开全局// f(n)表示第n只猴剩下的桃子
int f(int x)
{if (x == n){return 1;}return f(x+1) * 2 + 1;
}int main()
{cin >> n;cout << f(0);return 0;
}

例如，按照输入样例的 $2$，程序会这么执行：
$f(0)=f(1)\times 2+1$
$f(1)=f(2)\times 2+1$
$f(2)=1$
$f(1)=1\times 2+1=3$
$f(0)=3\times 2+1=7$

五、偶数个5

1. 审题

题目描述

在所有的 $n$ 位数种，有多少个数中有偶数个数字 $5$？请让这个结果对 $11111$ 进行取模。

输入描述

一行，包含一个正整数 $n$（$0<n<50$）

输出描述

一个整数，输出有多少个数中有偶数个数字 $5$。

样例1

输入

2

输出

73

提示

$0<n<50$

2. 参考答案

#include <iostream>
using namespace std;int n;
int ou[55];
int ji[55];int main()
{cin >> n;ou[1] = 9;ji[1] = 1;for (int i = 2; i <= n-1; i++){ou[i] = (ou[i-1] * 9 + ji[i-1] * 1) % 11111;ji[i] = (ou[i-1] * 1 + ji[i-1] * 9) % 11111;}cout << (ou[n-1] * 8 + ji[n-1] * 1) % 11111;return 0;
}

习题

1. 赶鸭子

1.1 审题

一个人赶着鸭子到每个村庄卖，每经过一个村子卖去所赶鸭子的一半又一只，经过一个村子后还剩 $n$ 只鸭子，求出发时共赶多少只鸭子。

1.2 参考答案

#include <iostream>
using namespace std;int n;int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= 7; i++){n = (n + 1) * 2;}cout << n;
}

2. 台阶问题

2.1 审题

题目描述

台阶总共有 $n$ 级，一次可以上 $1$ 级，也可以上 $2$ 级，也可以上 $3$ 级，上 $n$ 级台阶，总共有多少种走法？

输入描述

共 $1$ 行，为一个正整数 $n$，表示台阶的数量。

输出描述

共一行，为一个正整数，表示走法数量。

样例1

输入

3

输出

4

提示

$0<n<21$

2.2 参考答案

#include <iostream>
using namespace std;int n;
int a[25] = {0, 1, 2, 4};int main()
{cin >> n;for (int i = 4; i <= n; i++){a[i] = a[i-1] + a[i-2] + a[i-3];}cout << a[n];return 0;
}

3. 偶数个3

1. 审题

题目略

2. 参考答案

#include <iostream>
using namespace std;int n;
int ou[55];
int ji[55];int main()
{cin >> n;ou[1] = 9;ji[1] = 1;for (int i = 2; i <= n-1; i++){ou[i] = (ou[i-1] * 9 + ji[i-1] * 1) % 11111;ji[i] = (ou[i-1] * 1 + ji[i-1] * 9) % 11111;}cout << (ou[n-1] * 8 + ji[n-1] * 1) % 11111;return 0;
}

彩蛋

后期预告

下一期是模拟算法哦，千万不要错过！

C++冷知识

C++ 提供了异常处理机制，允许程序在遇到错误时跳过函数调用链并执行特定的错误处理代码，以实现错误恢复和程序稳定性！