数论 - 博弈论(Nim游戏)

文章目录

  • 前言
  • 一、Nim游戏
    • 1.题目描述
        • 输入格式
        • 输出格式
        • 数据范围
        • 输入样例:
        • 输出样例:
    • 2.算法
  • 二、台阶-Nim游戏
    • 1.题目描述
        • 输入格式
        • 输出格式
        • 数据范围
        • 输入样例:
        • 输出样例:
    • 2.算法
  • 三、集合-Nim游戏
    • 1.题目描述
        • 输入格式
        • 输出格式
        • 数据范围
        • 输入样例:
        • 输出样例:
    • 2.算法
  • 四、拆分-Nim游戏
    • 1.题目描述
        • 输入格式
        • 输出格式
        • 数据范围
        • 输入样例:
        • 输出样例:
    • 2.算法

前言

博弈论又被称为对策论(Game Theory),既是现代数学的一个新分支,也是运筹学的一个重要学科。博弈论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用,是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为,并研究它们的优化策略。

一、Nim游戏

1.题目描述

给定 n 堆石子,两位玩家轮流操作,每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子(可以拿完,但不能不拿),最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略,先手是否必胜。

输入格式

第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个数字,其中第 i 个数字表示第 i 堆石子的数量。

输出格式

如果先手方必胜,则输出 Yes

否则,输出 No

数据范围

1≤n≤105,
1≤每堆石子数≤109

输入样例:
2
2 3
输出样例:
Yes

2.算法

  • 算法结论:全部项异或,如果异或为0(a1^a2……an = 0)则先手必败,异或为1((a1^a2……an = x))则先手必胜
  • 如何证明???
  • 证明异或非0进行一步操作便可以使得异或为0:x的二进制表示中最高一位在第k位,则a1~an中必然有一个数ai的第k位是1,从ai对拿去(ai - (ai - x))后该堆为ai^x,则此时所有堆异或等于0
  • 证明异或为0不论怎么操作都会让异或非0:可以用反证法,如果a1^a2…ai…an = 0且a1^a2…ai拿去后…an = 0,则两式异或得ai^ai拿去后 = 0,则拿去前后不变,不符合逻辑
  • 最后还要知道全为0时异或,这种情况必然是先手必败
  • 所有这场游戏两人都实现最优策略则:异或为0(a1^a2……an = 0)则先手必败,异或为1((a1^a2……an = x))则先手必胜
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 100010;int main()
{int n;scanf("%d", &n);int res = 0;while (n -- ){int x;scanf("%d", &x);res ^= x;}if (res) puts("Yes");else puts("No");return 0;
}

二、台阶-Nim游戏

1.题目描述

现在,有一个 n 级台阶的楼梯,每级台阶上都有若干个石子,其中第 i 级台阶上有 ai 个石子(i≥1)。

两位玩家轮流操作,每次操作可以从任意一级台阶上拿若干个石子放到下一级台阶中(不能不拿)。

已经拿到地面上的石子不能再拿,最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略,先手是否必胜。

输入格式

第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数,其中第 i 个整数表示第 i 级台阶上的石子数 ai。

输出格式

如果先手方必胜,则输出 Yes

否则,输出 No

数据范围

1≤n≤105,
1≤ai≤109

输入样例:
3
2 1 3
输出样例:
Yes

2.算法

  • 本题思路和上一题基本一致,但我们要分两种情况
  • 当对手拿偶数台阶时,我们可以通过拿取对手从偶数台阶下方到奇数台阶的部分,把它再从奇数台阶下放到下一级偶数台阶,这样保证了奇数台阶始终不变
  • 当对手拿奇数台阶时,情况和我们上一题一摸一样,所以奇数台阶异或为0则先手必败,异或为1则先手必胜
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 100010;int main()
{int n;scanf("%d", &n);int res = 0;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){int x;scanf("%d", &x);if (i & 1) res ^= x; //判断奇偶再异或奇项}if (res) puts("Yes");else puts("No");return 0;
}

三、集合-Nim游戏

1.题目描述

给定 n 堆石子以及一个由 k 个不同正整数构成的数字集合 S。

现在有两位玩家轮流操作,每次操作可以从任意一堆石子中拿取石子,每次拿取的石子数量必须包含于集合 S,最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略,先手是否必胜。

输入格式

第一行包含整数 k,表示数字集合 S 中数字的个数。

第二行包含 k 个整数,其中第 i 个整数表示数字集合 S 中的第 i 个数 si。

第三行包含整数 n。

第四行包含 n 个整数,其中第 i 个整数表示第 i 堆石子的数量 hi。

输出格式

如果先手方必胜,则输出 Yes

否则,输出 No

数据范围

1≤n,k≤100,
1≤si,hi≤10000

输入样例:
2
2 5
3
2 4 7
输出样例:
Yes

2.算法

  • 首先我们需要知道一些博弈论的基础知识:

1.Mex运算
设S表示一个非负整数集合.定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数运算,即:
mes(S)=min{x}。例如:S={0,1,2,4},那么mes(S)=3。
2.SG函数
在有向图游戏中,对于每个节点x,设从x出发共有k条有向边,分别到达节点y1,y2,····yk,定义SG(x)的后记节点y1,y2,····yk的SG函数值构成的集合在执行mex运算的结果,即:SG(x)=mex({SG(y1),SG(y2)····SG(yk)})特别地,整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值,即 SG(G)=SG(s)。
3.有向图游戏的和
设G1,G2,····,Gm是m个有向图游戏.定义有向图游戏G,他的行动规则是任选某个有向图游戏Gi,并在Gi上行动一步.G被称为有向图游戏G1,G2,·····,Gm的和。有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数的异或和,即:SG(G)=SG(G1)xorSG(G2)xor···xor SG(Gm)

  • 我们可以举一个例子:设取石子的集合为{2,5},且仅有一堆石子,石子数为10(终点SG值为0)在这里插入图片描述

  • 当仅有一堆石子是,如果SG(10)!= 0,则必胜,等于0则必败。原因:当SG不等于0时,下一个连接点必有一个是0;当SG等于0时,下一个连接点都是非0。所以先手只要不是0,就可以一直给后手0的情况,最终达到终点0,先手胜利。

  • 当有n堆石子时,把每一堆石子的SG取出来,发现这就是Nim游戏!!!思路便和第一道例题一摸一样!!!(因为也是全为0的时候先手必败)

  • 所以所有堆石子的SG异或值,不等于0先手必胜;等于0先手必败

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>using namespace std;const int N=110,M=10010;
int n,m;
int f[M],s[N];//s存储的是可供选择的集合,f存储的是所有可能出现过的情况的sg值//记忆化搜索
int sg(int x)
{if(f[x]!=-1) return f[x]; //因为取石子数目的集合是已经确定了的,所以每个数的sg值也都是确定的,如果存储过了,直接返回即可set<int> S; //因为在函数内部定义,所以下一次递归中的S不与本次相同for(int i=0;i<m;i++){int sum=s[i];if(x>=sum) S.insert(sg(x-sum)); //先延伸到终点的sg值后,再从后往前排查出所有数的sg值}for(int i=0;;i++)//循环完之后可以进行选出最小的没有出现的自然数的操作if(!S.count(i))return f[x]=i;
}int main()
{cin>>m;for(int i=0;i<m;i++)cin>>s[i];cin>>n;memset(f,-1,sizeof(f));//初始化f均为-1,方便在sg函数中查看x是否被记录过int res=0;for(int i=0;i<n;i++){int x;cin>>x;res^=sg(x);//观察异或值的变化,基本原理与Nim游戏相同}if(res) printf("Yes");else printf("No");return 0;
}

四、拆分-Nim游戏

1.题目描述

给定 n 堆石子,两位玩家轮流操作,每次操作可以取走其中的一堆石子,然后放入两堆规模更小的石子(新堆规模可以为 0,且两个新堆的石子总数可以大于取走的那堆石子数),最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略,先手是否必胜。

输入格式

第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数,其中第 i 个整数表示第 i 堆石子的数量 ai。

输出格式

如果先手方必胜,则输出 Yes

否则,输出 No

数据范围

1≤n,ai≤100

输入样例:
2
2 3
输出样例:
Yes

2.算法

  • 相比于集合-Nim,这里的每一堆可以变成小于原来那堆的任意大小的两堆
  • 即a[i]可以拆分成(b[i],b[j]),为了避免重复规定b[i]>=b[j],即:a[i]>b[i]>=b[j]
  • 相当于一个局面拆分成了两个局面,由SG函数理论,多个独立局面的SG值,等于这些局面SG值的异或和。因此需要存储的状态就是sg(b[i])^sg(b[j])(与集合-Nim的唯一区别)

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <unordered_set>using namespace std;const int N = 110;int n;
int f[N];int sg(int x)
{if(f[x] != -1) return f[x];unordered_set<int> S;for(int i = 0 ; i < x ; i++)for(int j = 0 ; j <= i ; j++)//规定j不大于i,避免重复S.insert(sg(i) ^ sg(j));//相当于一个局面拆分成了两个局面,由SG函数理论,多个独立局面的SG值,等于这些局面SG值的异或和for(int i = 0 ; ; i++)if(!S.count(i))return f[x] = i;
}int main()
{memset(f , -1 , sizeof f);cin >> n;int res = 0;while(n--){int x;cin >> x;res ^= sg(x);}if(res) puts("Yes");else puts("No");return 0;
}

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