【数据结构】图的最小生成树

最小生成树

一个图中有N个顶点，边的数量一定是>=N-1，我们从中选取N-1条边，用来连接N个点，所形成的边权之和最小，就是最小生成树。

构成最小生成树的准则

只能使用图中的边来构造最小生成树
只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点
选用的n-1条边不能构成回路

构成最小生成树的的方法：Kruskal(克鲁斯卡尔)算法和Prim(普里姆)算法

二者都是基于逐步贪心的算法

Kruskal算法

Kruskal算法的思路

先构建出一个N个顶点的最小生成树图，其中不包含任何边，将原图的各个边按照权值进行排序
在排序的边中，选出一条边，如果这条边不会与其它边构成环，就添加到最小生成树图里
当选边数为N-1时，就构成最小生成树，否则不构成

描述这一过程，构成最小生成树

再选边时都会构成环，此时已经是n-1条边，连接n个顶点，是最小生成树。

要做选取最小的边，就需要将边的关系放到优先级队列中。每一个取边，就是top pop的过程。
判断是否成环，需要一个集合，如果顶点A和B都在集合中，那么就构成环。
只要优先级队列还有边就要一直判断选边，直到队列为空，如果最后选取了n-1条边，那么就是最小生成树，反之不是，并返回所有的权和。

		struct Edge{size_t _srci;size_t _dsti;W _w;Edge(size_t srci, size_t dsti, const W& w):_srci(srci), _dsti(dsti), _w(w){}bool operator>(const Edge& e) const{return _w > e._w;}bool operator<(const Edge& e) const{return _w < e._w;}};//最小生成树W Kruskal(Self& minTree){size_t n = _vertexs.size();minTree._vertexs = _vertexs;minTree._vIndexMap = _vIndexMap;minTree._matrix.resize(n);for (size_t i = 0; i < minTree._vertexs.size(); i++){minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W);}//优先级队列priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minque;//把所有的边都放进去for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++){for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); j++){if (i<j&&_matrix[i][j] != MAX_W){minque.push(Edge(i, j, _matrix[i][j]));}}}//选边W total = W();size_t i = 1;UnionFindSet ufs(_vertexs.size());while (!minque.empty()){Edge minedge = minque.top();minque.pop();if (!ufs.InSet(minedge._srci,minedge._dsti)){cout << _vertexs[minedge._srci] << "->" << _vertexs[minedge._dsti] << ":" << minedge._w << endl;ufs.Union(minedge._srci, minedge._dsti);minTree._AddEdge(minedge._srci, minedge._srci, minedge._w);total += minedge._w;++i;}else{cout << "构成环" << endl;}}if (i == _vertexs.size()){return total;}return W();}

创建最小生成树的顶点和映射，提前为邻接矩阵开空间。
遍历原图的邻接矩阵，将边都放到优先级队列中。
选边时，只有不在同一个集合中，才被添加到最小生成树的边里。

对于自定义类型的优先级队列，需要自定比较函数。

这里也运用到并查集的知识。

Prim算法

算法的基本思路

构造一个含 n 个顶点、不含任何边的图作为最小生成树，将图中的顶点分为两个集合，X Y 集合中的顶点是已经连接到最小生成树中的顶点，Y集合中的顶点是还没有连接到最小生成树中的顶点，刚开始时X 集合中只包含给定的起始顶点。
每次从连接X 集合与 Y 集合的所有边中选出一条权值最小的边，将其加入到最小生成树中，由于选出来的边对应的两个顶点一个属于X 集合，另一个属于Y集合，因此是不会构成回路的。

步骤

先创建最小生成树的图，构造顶点和下标映射，为邻接矩阵开辟空间。
创建 X Y标记数组，X是已经包含的集合(全false)，Y是没有被包含的集合(true)。
求出srci表示从哪一个顶点开始。X[srci]=true,Y[srci]=false
将srci所有相邻的边都放到优先级队列中，遍历优先级队列，如果不构成环，就添加边
然后将dsti的边相邻也添加到队列中
确保不相邻的方法：srci在X中，dsti在Y中,就是不相邻

		W Prim(Self& minTree, const W& src){size_t srci = GetVertexIndex(src);size_t n = _vertexs.size();minTree._vertexs = _vertexs;minTree._vIndexMap = _vIndexMap;minTree._matrix.resize(n);for (size_t i = 0; i < minTree._vertexs.size(); i++){minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W);}vector<bool> X(n, false);vector<bool> Y(n, true);X[srci] = true;Y[srci] = false;//优先级队列priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minque;//把所有的边都放进去for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++){if (  _matrix[srci][i] != MAX_W){minque.push(Edge(srci, i, _matrix[srci][i]));}}cout << "Prim 选边" << endl;W total = W();size_t i = 1;while (!minque.empty()){Edge minedge = minque.top();minque.pop();if (X[minedge._dsti]){//cout << "构成环";}else{minTree._AddEdge(minedge._srci, minedge._dsti, minedge._w);X[minedge._dsti] = true;Y[minedge._dsti] = false;++i;total += minedge._w;if (i == n)		break;//将dsti相邻的都放到队列中for (size_t index = 0; index < n; index++){if (Y[index]&&_matrix[minedge._dsti][index] != MAX_W){minque.push(Edge(minedge._dsti, index,_matrix[minedge._dsti][index]));}}}}if (i == n){return total;}return W();}