【leetcode】常用数学题解法介绍

当涉及到ACM算法题中常见的数学常识和知识点时，以下是更加详细和全面的分析：

位运算：包括与（&）、或（|）、异或（^）、取反（~）等操作，它们可以对二进制数的位进行操作。常用的位运算技巧包括：使用与运算来判断奇偶性（x & 1），使用异或运算来交换两个数的值（a ^= b ^= a ^= b）等。
位操作技巧：使用位操作可以实现一些高效算法，例如通过 n & (n - 1) 可以判断一个数是否是2的幂，通过 x & -x 可以得到 x 的最低位的1。

最大公约数（Greatest Common Divisor，GCD）：计算两个数的最大公约数，常用的算法有辗转相除法（欧几里德算法）和更相减损法。
最小公倍数（Least Common Multiple，LCM）：计算两个数的最小公倍数，可以通过 GCD 和两个数的乘积除以其最大公约数得到。
素数与质因数分解：素数是指只能被1和自身整除的正整数。质因数分解是将一个数分解为若干个素数的乘积。常用的素数判定算法有试除法和Miller-Rabin素性测试。质因数分解可以使用试除法、Pollard-Rho算法等算法实现。
欧拉函数（Euler’s totient function）：对于正整数 n，欧拉函数 phi(n) 表示小于等于 n 且与 n 互质的正整数的个数。欧拉函数的计算可以通过质因数分解实现。
费马小定理（Fermat’s little theorem）：对于任意正整数 a 和素数 p，如果 a 不是 p 的倍数，则 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。该定理可以用来进行取模运算的优化。
逆元（modular inverse）：对于正整数 a 和素数 p，如果存在正整数 b，使得 a * b ≡ 1 (mod p)，则称 b 是 a 在模 p 下的逆元。逆元的计算可以使用扩展欧几里德算法实现。

排列（Permutation）：从 n 个元素中选取 m 个元素按一定的顺序摆放，共有 P(n,m) 种排列方式，计算公式为：P(n,m) = n! / (n - m)!
组合（Combination）：从 n 个元素中选取 m 个元素，不考虑顺序，共有 C(n,m) 种组合方式，计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n - m)!)
二项式系数（Binomial Coefficient）：计算 n 的 m 次幂的系数，也就是 C(n,m)。可以通过动态规划（杨辉三角）、组合公式等方法计算。

快速幂算法：
快速幂算法是一种用于快速计算幂次的算法，能够降低计算复杂度。它基于以下观察：对于一个正整数 x，如果将其表示为二进制形式，例如 x = b_{k}b_{k-1}…b_{1}b_{0}，那么 x 的任意幂次可以通过平方和乘法来计算。快速幂算法的基本思想是通过二进制位的拆分，将指数进行分解，然后利用平方和乘法进行快速计算。例如，计算 x^N，可以将 N 表示为二进制形式，然后从高位到低位逐步计算 x 的平方，如果当前位对应的二进制数为1，则将结果乘以 x。
常见数学公式：
在ACM算法题中，一些常见的数学公式可以帮助简化问题或提高计算效率，例如：

等差数列求和公式：S = (n / 2) * (a1 + an)，其中 n 为项数，a1 和 an 分别为首项和末项。
等比数列求和公式：S = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)，其中 a1 为首项，r 为公比，n 为项数。
平方和公式：1^2 + 2^2 + … + n^2 = (n * (n + 1) * (2n + 1)) / 6。
立方和公式：1^3 + 2^3 + … + n^3 = ((n * (n + 1)) / 2)^2。
斐波那契数列通项公式：Fn = (phi^n - psi^n) / sqrt(5)，其中 phi 和 psi 分别为黄金分割比和相反的黄金分割比，即 (1 + sqrt(5)) / 2 和 (1 - sqrt(5)) / 2。