原题链接

题意

动态求 LCA 板子题。

维护一个森林，支持加边、删边和求 LCA 操作。

思路

不难想到 LCT。

现在问题就是如何在 LCT 上求两个点 $u,v$ 的 LCA。

先进行 $\mathrm{access}(u)$，此时 $u$ 到根的路径已经变成一个实链。

$\mathrm{lca}(u,v)$ 去往 $u$ 的路径的第一条边是实边，则去往 $v$ 的路径的第一条边是虚边。

再进行 $\mathrm{access}(v)$，由于 $\mathrm{lca}(u,v)$ 到根的路径上全是实边，那么 $\mathrm{access}$ 最后改变的虚边的父亲就是 $\mathrm{lca}(u,v)$。

注意：求 LCA 需要考虑树的父子关系，所以在 cut 时不能使用 makeroot 操作，而 link 无所谓。

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代码

#include <iostream>using namespace std;const int N = 100010;int n, m;
struct Splay_Node
{int s[2], p, v;
}tr[N];inline bool is_root(int x)
{int p = tr[x].p;if (tr[p].s[0] != x && tr[p].s[1] != x) return true;return false;
}inline void rotate(int x)
{int y = tr[x].p, z = tr[y].p;int k = tr[y].s[1] == x;if (!is_root(y)) tr[z].s[tr[z].s[1] == y] = x;tr[x].p = z;tr[y].s[k] = tr[x].s[k ^ 1], tr[tr[x].s[k ^ 1]].p = y;tr[x].s[k ^ 1] = y, tr[y].p = x;
}inline void splay(int x)
{while (!is_root(x)){int y = tr[x].p, z = tr[y].p;if (!is_root(y))if ((tr[y].s[1] == x) ^ (tr[z].s[1] == y)) rotate(x);else rotate(y);rotate(x);}
}inline int access(int x)
{int z = x, y;for (y = 0; x; y = x, x = tr[x].p)splay(x), tr[x].s[1] = y;splay(z);return y; // 这里返回的是最后一次虚实链变换时虚边父亲节点的编号。
}inline int find_root(int x)
{access(x);while (tr[x].s[0]) x = tr[x].s[0];splay(x);return x;
}inline void link(int x, int y)
{if (find_root(y) != find_root(x)) tr[x].p = y;
}inline void cut(int x) // 一定不能 makeroot！
{access(x);tr[x].s[0] = tr[tr[x].s[0]].p = 0;
}inline int lca(int x, int y)
{access(x);return access(y);
}int main()
{char op[5]; int x, y;scanf("%d%d", &n, &m);while (m -- ){scanf("%s%d%d", op, &x, &y);if (op[1] == 'i') link(x, y);else if (op[1] == 'u') cut(x);else printf("%d\n", lca(x, y));}return 0;
}