1 二叉树的概念 

二叉树是：

1. 空树
2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。

• 二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

2 二叉树的遍历

2.1 前序、中序以及后序遍历

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。根 左子树 右子树
2. 中序遍历(Inorder Traversal）：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。左子树 根 右子树
3. 后序遍历(Postorder Traversal)：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。        左子树 右子树 根

• 由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。
• NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

要注意：空NULL才是结束条件，而不是叶子。 只有看到NULL了才不往下遍历。

2.2 二叉树链式结构的实现 

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

2.2.1 手动构建二叉树 

//二叉树节点结构体
typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}TreeNode;//手动构建一个二叉树
TreeNode* BuyTreeNode(int x)
{TreeNode* node = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));assert(node);//给出根节点，左右子树记为空node->data = x;node->left = NULL;node->right = NULL;return node;
}TreeNode* CreateTree()
{TreeNode* node1 = BuyTreeNode(1);TreeNode* node2 = BuyTreeNode(2);TreeNode* node3 = BuyTreeNode(3);TreeNode* node4 = BuyTreeNode(4);TreeNode* node5 = BuyTreeNode(5);TreeNode* node6 = BuyTreeNode(6);TreeNode* node7 = BuyTreeNode(7);//连接树node1->left = node2;node1->right = node4;node2->left = node3;node4->left = node5;node4->right = node6;node5->right = node7;return node1;
}

• 注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。

2.2.2 二叉树遍历代码实现

//前序
void PrevOrder(TreeNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}printf("%d ", root->data);PrevOrder(root->left);PrevOrder(root->right);
}//中序
void InOrder(TreeNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->data);InOrder(root->right);
}//后序
void PostOrder(TreeNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}PostOrder(root->left);//左PostOrder(root->right);//右printf("%d ", root->data);//根
}int main()
{TreeNode* root = CreateTree();// 二叉树前序遍历PreOrder(node);printf("\n");// 二叉树中序遍历InOrder(node);printf("\n");// 二叉树后序遍历PostOrder(node);}

前序遍历

递归理解：先进入函数，然后递归返回，直到全部返回完毕，函数结束。

中序遍历

 2.2.3 计算二叉树节点个数

方法一：遍历

问题解决

• 下面这样可以吗?

int TreeSize(TreeNode* root)
{int size = 0;if (root == NULL){return 0;}++size;TreeSize(root->left);TreeSize(root->right);return size;
}

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不可以。我们要知道，这样会递归出来很多个栈帧，而每一个栈帧都会创建一个新的size，最后size并没有实现累加。

针对以上问题，我们用静态static int size定义size可以解决问题：不把size放进栈帧，而是放进静态区。

• 但如果我们再次调用一下函数，会发现size的值变成了14。这是为什么呢？

原因：局部的静态变量只会被初始化一次。静态局部变量生命周期是程序结束，如果我们重复调用TreeSize函数，它会以上一次的结果为初始值进行累加，那么节点个数就会成倍增长。

• 如果每次用完将size置0呢？

也不可以，因为虽然局部静态变量的生命周期是在全局，但是它的作用域只在当前函数。而在函数里我们并不能找到地方将其置0。

根据以上问题，我们可以用全局变量，每次调用完函数以后将其置0即可。

代码实现

int size = 0;void TreeSize(TreeNode* root)
{if (root == NULL){return;}++size;TreeSize(root->left);TreeSize(root->right);
}int main()
{TreeNode* root = CreateTree();//输出节点个数size的值size = 0;TreeSize(root);printf("TreeSize:%d\n",size);size = 0;TreeSize(root);printf("TreeSize:%d\n", size);size = 0;TreeSize(root);printf("TreeSize:%d\n", size);return 0;
}

方法二：递归 （首选思路）

代码实现

int TreeSize(TreeNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}int main()
{TreeNode* root = CreateTree();printf("TreeSize:%d\n", TreeSize(root));printf("TreeSize:%d\n", TreeSize(root));printf("TreeSize:%d\n", TreeSize(root));
}

也可以用三目运算符简写如下 

int TreeSize(TreeNode* root)
{return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) +TreeSize(root->right) + 1;
}

思路分析

可看成校长安排数 学校人数问题。 

要控制好子问题分治和代码返回条件。

• 分治：根+左子树的节点个数+右子树的节点个数 
• 返回条件：空树返回0

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 2.2.4 计算二叉树叶子节点个数

• 分治：左子树的叶子节点+右子树的叶子节点
• 返回条件：若为空树返回0，若为叶子节点则返回1。

代码实现 

// 叶子节点的个数
int TreeLeafSize(TreeNode* root)
{// 空 返回0if (root == NULL)return 0;// 不是空，是叶子 返回1if (root->left == NULL&& root->right == NULL)return 1;// 不是空 也不是叶子  分治=左右子树叶子之和return TreeLeafSize(root->left) +TreeLeafSize(root->right);
}

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2.2.5 计算二叉树的高度

• 分治：左子树和右子树中高的子树+1（每一层都要进行筛选）
• 返回条件：空树NULL返回0

代码实现

方法一

int TreeHeight(TreeNode* root)
{if (root == NULL)return 0;int leftHeight = TreeHeight(root->left);int rightHeight = TreeHeight(root->right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

 方法二

#include<math.h>int TreeHeight(TreeNode* root)
{if (root == NULL)return 0;return fmax(TreeHeight(root->left), TreeHeight(root->right)) + 1;
}

注意：以下这种写法，在OJ里可能会过不去，因为如果数很多很多就会调用次数太多，有大量的重复计算，超出时间限制。

int TreeHeight(TreeNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}return TreeHeight(root->left) > TreeHeight(root->right) ? TreeHeight(root->left) + 1 : TreeHeight(root->right) + 1;
}

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 下一节我们继续讲解二叉树第K层的节点个数的代码实现。