前言

在数据结构与算法中，理解和运用是两个方面。
写这篇博文，为的是保留下自己运用各种算法解决问题的经验，顺便给有缘人阅读，持续更新。

排序

关键/关键词

如果对顺序没有要求，可先排个序。
一般来说吗，引入了单调性之后，问题会更容易解决。

2389. 和有限的最长子序列

原题链接：2389. 和有限的最长子序列

Python3代码：

class Solution:def answerQueries(self, nums: List[int], queries: List[int]) -> List[int]:# 1. 关键词：子序列，求和# 2. 要求的和数组元素在数组中的顺序无关# 3. 先对数组排序，方便回答询问# 4. 前缀和# 5. 回答询问，在前缀和上二分nums.sort()for i in range(1, len(nums)):nums[i] += nums[i - 1] # 前缀和for i, q in enumerate(queries):# 把 >= q的边界queries[i] = bisect.bisect_right(nums, q)return queries

栈

关键/关键词

• 相邻
• 消除

2390. 从字符串中移除星号

原题链接：2390. 从字符串中移除星号

Python3代码：

class Solution:def removeStars(self, s: str) -> str:# 关键词：相邻、消除# 思路： 栈stk = []for e in s:if e == '*':stk.pop()else:stk.append(e)return ''.join(stk)

拓扑排序

关键/关键词

要求找到一种符合要求的顺序。

207. 课程表

原题链接：207. 课程表

板子题，就是按要求进行排序。

Python3代码：

from collections import dequeclass Solution:def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:order = []in_degree = [0] * numCoursesedges = [[] for _ in range(numCourses)]for x, y in prerequisites:edges[x].append(y)in_degree[y] += 1q = deque(i for i, x in enumerate(in_degree) if x == 0)while q:cur = q.popleft()order.append(cur)for y in edges[cur]:in_degree[y] -= 1if in_degree[y] == 0:q.append(y)return True if len(order) == numCourses else False

2392. 给定条件下构造矩阵

原题链接：2392. 给定条件下构造矩阵

其实就是，要找出一个满足题目要求的各个数字在行和列上面的顺序的矩阵，也就是拓扑排序。

Python3代码：

from collections import dequeclass Solution:def buildMatrix(self, k: int, rowConditions: List[List[int]], colConditions: List[List[int]]) -> List[List[int]]:# 1. 行：1和3都要在2上面# 2. 列：2在1左边，3在2左边，那么就是3  2  1# 3. 找到一种合理的顺序# 4. 拓扑排序def topo_sort(edges):# 建图，邻接表g = [[] for _ in range(k)]# 表示第 i 门课程剩余的先修课的数目，一旦这个数目为0，代表可以修第 i 门课left = [0] * kfor x, y in edges:x -= 1 # 为了方便记录，要符合索引，就得把数字减一y -= 1g[x].append(y)left[y] += 1 # 入度加一order = []q = deque(i for i, v in enumerate(left) if v == 0)while q:x = q.popleft()order.append(x)for y in g[x]:left[y] -= 1if left[y] == 0:q.append(y)# 如果排序结果中的节点个数，等于原图中的节点个数，代表排序成功。return order if len(order) == k else Nonerow = topo_sort(rowConditions)if row is None:return []col = topo_sort(colConditions)if col is None:return []pos = {x : i for i, x in enumerate(col)}ans = [[0] * k for _ in range(k)]for i, x in enumerate(row):# 把第 i 行的元素放在对应的列上面ans[i][pos[x]] = x + 1 # 因为之前为了方便减去了1，现在要加回来return ans

线性DP

关键/关键词

深刻理解、熟练运用经典的线性DP模型。

最长公共子序列

顾名思义，找两个序列（或者其它相关的概念）中的最长公共部分。

1143. 最长公共子序列

原题链接：1143. 最长公共子序列

Python3代码：

from functools import cacheclass Solution:def longestCommonSubsequence(self, s: str, t: str) -> int:n = len(s)m = len(t)f = [0] * (m + 1)for i, x in enumerate(s):pre = f[0] # 左上角for j, y in enumerate(t):tmp = f[j + 1]if x == y:f[j + 1] = pre + 1else:# 因为空间压缩到了一维数组上，所以下面其实是max(左，上)f[j + 1] = max(f[j + 1], f[j])# 新的左上角pre = tmpreturn f[m]# @cache# def dfs(i, j):#     if i < 0 or j < 0:#         return 0#     if text1[i] == text2[j]:#         return dfs(i - 1, j - 1) + 1#     return max(dfs(i - 1, j), dfs(i, j - 1))# return dfs(n - 1, m - 1)

最长递增子序列

顾名思义，就是找到一个序列（或者说数组等诸如此类的东西）中的最长递增的子序列。

300. 最长递增子序列

原题链接：300. 最长递增子序列

Python3代码：

from functools import cacheclass Solution:def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:n = len(nums)f = [0] * nfor i in range(n):for j in range(i):if nums[j] < nums[i]:f[i] = max(f[i], f[j])f[i] += 1return max(f)# @cache# def dfs(i):#     if i == 0:#         return 1#     res = 0#     for j in range(i):#         if nums[j] < nums[i]:#             res = max(res, dfs(j))#     return res + 1# return max(dfs(i) for i in range(len(nums)))

与最长公共子序列的联系

假设我们有一个序列叫nums，现在计算一个基于原本的序列的排序、去重（如果要求严格递增则需要去重，可以相等则无需去重）后的副本nums_copy，计算它们的最长公共子序列，即最长递增子序列。

示例Python3代码：

from functools import cacheclass Solution:def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:nums_copy = sorted(set(nums))def LCS(s, t):n = len(s)m = len(t)dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]for i in range(n):for j in range(m):if s[i] == t[j]:dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + 1else:dp[i + 1][j + 1] = max(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j])return dp[n][m]return LCS(nums, nums_copy)

动态规划转为二分贪心

设置数组g，g[i]代表长为i + 1的递增子序列的末尾元素的最小值，利用二分查找维护数组g，最终g的长度就是最长递增子序列的长度。

其实不仅仅在此题，这个精妙的思路在一些其它问题中也适用。

Python3代码：

from functools import cache
from bisect import bisect_leftclass Solution:def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:n = len(nums)g = []for x in nums:j = bisect_left(g, x)if j == len(g):g.append(x)else:g[j] = xreturn len(g)

状态机DP

引自博客园 BeautifulWater

DP状态机这类问题往往是强调某一个阶段和上一个阶段之间的联系，且一个阶段里面有多种状态（比如说“有”和“无”）。

股票问题中，状态无非就两种：

• 有股票
• 无股票

关键/关键词

理清状态。

122. 买卖股票的最佳时机 II

原题链接：122. 买卖股票的最佳时机 II

class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:@cachedef dfs(i, hold):if i < 0:return -inf if hold else 0if hold:return max(dfs(i - 1, True), dfs(i - 1, False) - prices[i])return max(dfs(i - 1, False), dfs(i - 1, True) + prices[i])return dfs(len(prices) - 1, False)