【题解提供者】吴立强

解法一

思路

【快速幂】算法改版题。

面对 $a\times b\mathrm{mod}p$ 这个结构，直接求必然溢出 long long，任何基本结构都不好使。

模仿快速幂算法是先将 $b$ 二进制分解（假设 $b$ 的二进制表示为 $b_{59}{b}_{58}{b}_{57}...b_2{b}_1{b}_0$），那么就有：

$a\times b={\sum }_{i=0}^{59}(b_i\times a\times 2^i)$

由于加法取模可以对加法各部分先取模，所以有：

$a\times b\mathrm{mod}p=({\sum }_{i=0}^{59}((b_i\times a\times 2^i)\mathrm{mod}p))\mathrm{mod}p$

通过上面的式子，我们将原本的 $a\times b$ 经由 $b$ 的二进制拆分转化成了 60 个（因为 $2^{60}>10^{18}$）子结构的乘积，如果可以较为快速的处理出这 60 个子结构的值，那么原式的值也就求出来了。

$b$ 的二进制拆分并不难，而 $a$ 则需依次求解出 $a\times 1,a\times 2,a\times 4,a\times \mathrm{8...}$，注意到其每一项都是前一项的两倍，通过递推也就可以做到依次求解了。

代码

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;int main() {ll a, b, p;cin >> a >> b >> p;ll ans = 0;while(b) {if(b & 1) ans = (ans + a) % p;a = (a + a) % p;b >>= 1;}cout << ans;return 0;
}

算法分析

本算法的时间复杂度为 $O(\log (b))$。