F. Sasha and the Wedding Binary Search Tree

题意

给定一颗二叉搜索树，规定树上的所有点的点权都在范围 $[1,C]$ 内，树上的某些节点点权已知，某些节点点权未知，求出合法的二叉搜索树的数量

思路

由于是二叉搜索树，所以左子树的点权小于等于右子树的点权，我们先进行一次先序遍历，得到一个 $order$ 遍历顺序的数组，其中某些段是未知的点权，我们可以通过其左端点和右端点的点权来约束这些未知点的点权

假如这个未知段左边紧邻的第一个已知点权为 $L$，右边紧邻的第一个已知点权为 $R$，那么显然我们这个未知段的点权是 $[L,R]$ 的，假设未知段长度为 $len$，问题等价于选出 $len$ 个数，按照非递减的顺序摆放的方案数，允许重复数字出现。

我们将问题再转化一下，由于是非递减，所以一定有：$va{l}_i\le va{l}_{i+1}$，那么这一段的差分数组一定是大于等于 $0$ 的一段，并且总和为 $R-L$，要加上最后一个 $R$ 的位置，长度变为 $len+1$，例如：$L=2,R=5,len=3$，我们构造这样一个方案：$2,3,3,4,5$，差分数组为：$2,1,0,1,1$，忽略第一个位置的话，后面所有元素的和就是 $R-L=3$，那么问题成功转化为了：将 $R-L$ 个相同小球放入 $len+1$ 个不同盒子中（允许空盒子）的方案数，即为：$C_{R-L+len}^{len}$

由于这里 $R-L$ 很大，所以不能直接预处理阶乘，注意到 $\sum len\le n$，我们只需要利用公式：$C_{R-L+len}^{len}=\frac{(R-L+len)\cdot (R-L+len-1)\cdot ...\cdot (R-L+1)}{len!}$ 来计算即可

#include<bits/stdc++.h>
#define fore(i,l,r)	for(int i=(int)(l);i<(int)(r);++i)
#define fi first
#define se second
#define endl '\n'
#define ull unsigned long long
#define ALL(v) v.begin(), v.end()
#define Debug(x, ed) std::cerr << #x << " = " << x << ed;const int INF=0x3f3f3f3f;
const long long INFLL=1e18;typedef long long ll;template<class T>
constexpr T power(T a, ll b){T res = 1;while(b){if(b&1) res = res * a;a = a * a;b >>= 1;}return res;
}constexpr ll mul(ll a,ll b,ll mod){ //快速乘，避免两个long long相乘取模溢出ll res = a * b - ll(1.L * a * b / mod) * mod;res %= mod;if(res < 0) res += mod; //误差return res;
}template<ll P>
struct MLL{ll x;constexpr MLL() = default;constexpr MLL(ll x) : x(norm(x % getMod())) {}static ll Mod;constexpr static ll getMod(){if(P > 0) return P;return Mod;}constexpr static void setMod(int _Mod){Mod = _Mod;}constexpr ll norm(ll x) const{if(x < 0){x += getMod();}if(x >= getMod()){x -= getMod();}return x;}constexpr ll val() const{return x;}explicit constexpr operator ll() const{ return x; //将结构体显示转换为ll类型： ll res = static_cast<ll>(OBJ)}constexpr MLL operator -() const{ //负号，等价于加上ModMLL res;res.x = norm(getMod() - x);return res;}constexpr MLL inv() const{assert(x != 0);return power(*this, getMod() - 2); //用费马小定理求逆}constexpr MLL& operator *= (MLL rhs) & { //& 表示“this”指针不能指向一个临时对象或const对象x = mul(x, rhs.x, getMod()); //该函数只能被一个左值调用return *this;}constexpr MLL& operator += (MLL rhs) & {x = norm(x + rhs.x);return *this;}constexpr MLL& operator -= (MLL rhs) & {x = norm(x - rhs.x);return *this;}constexpr MLL& operator /= (MLL rhs) & {return *this *= rhs.inv();}friend constexpr MLL operator * (MLL lhs, MLL rhs){MLL res = lhs;res *= rhs;return res;}friend constexpr MLL operator + (MLL lhs, MLL rhs){MLL res = lhs;res += rhs;return res;}friend constexpr MLL operator - (MLL lhs, MLL rhs){MLL res = lhs;res -= rhs;return res;}friend constexpr MLL operator / (MLL lhs, MLL rhs){MLL res = lhs;res /= rhs;return res;}friend constexpr std::istream& operator >> (std::istream& is, MLL& a){ll v;is >> v;a = MLL(v);return is;}friend constexpr std::ostream& operator << (std::ostream& os, MLL& a){return os << a.val();}friend constexpr bool operator == (MLL lhs, MLL rhs){return lhs.val() == rhs.val();}friend constexpr bool operator != (MLL lhs, MLL rhs){return lhs.val() != rhs.val();}
};const ll mod = 998244353;
using Z = MLL<mod>;struct Comb {int n;std::vector<Z> _fac;std::vector<Z> _invfac;std::vector<Z> _inv;Comb() : n{0}, _fac{1}, _invfac{1}, _inv{0} {}Comb(int n) : Comb() {init(n);}void init(int m) {m = std::min(1ll * m, Z::getMod() - 1);if (m <= n) return; //已经处理完了需要的长度_fac.resize(m + 1);_invfac.resize(m + 1);_inv.resize(m + 1);for (int i = n + 1; i <= m; i++) {_fac[i] = _fac[i - 1] * i;}_invfac[m] = _fac[m].inv();for (int i = m; i > n; i--) { //线性递推逆元和阶乘逆元_invfac[i - 1] = _invfac[i] * i;_inv[i] = _invfac[i] * _fac[i - 1];}n = m; //新的长度}Z fac(int m) {if (m > n) init(2 * m);return _fac[m];}Z invfac(int m) {if (m > n) init(2 * m);return _invfac[m];}Z inv(int m) {if (m > n) init(2 * m);return _inv[m];}Z binom(int n, int m) { //二项式系数if (n < m || m < 0) return 0;return fac(n) * invfac(m) * invfac(n - m);}
} comb;const int N = 500050;int L[N], R[N];
ll val[N];
std::vector<ll> order;void dfs(int u){if(~L[u]) dfs(L[u]);order.push_back(val[u]);if(~R[u]) dfs(R[u]);
}int main(){std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(nullptr);std::cout.tie(nullptr);int t;std::cin >> t;while(t--){int n;ll C;std::cin >> n >> C;fore(i, 1, n + 1) std::cin >> L[i] >> R[i] >> val[i];order.clear();order.push_back(1);dfs(1);order.push_back(C);Z ans = 1;int idx = 1;while(idx <= n){while(idx <= n && ~order[idx]) ++idx;int l = order[idx - 1];int len = 0;while(idx <= n && order[idx] == -1){++idx;len += 1;}int r = order[idx];Z res = 1;for(int i = r - l + len; i >= r - l + 1; --i) res *= i;res *= comb.invfac(len);ans *= res;}std::cout << ans << endl;}return 0;
}