Problem: 二叉树

思路

这是一个典型的动态规划问题。我们可以定义dp[i][j]为节点个数为i且树的高度不超过j的二叉树的数量。我们可以通过枚举左子树和右子树的节点数量，来计算dp[i][j]的值。具体来说，对于每一个节点数量k，我们可以将其分配给左子树和右子树，然后计算出所有可能的组合数量。这样，我们就可以得到dp[i][j]的值。

解题方法

我们首先初始化dp[0][j]为1，表示没有节点的二叉树只有一种可能。然后，我们从i=1开始，对每一个节点数量i，我们枚举所有可能的左子树和右子树的节点数量k。对于每一个k，我们计算出左子树和右子树的二叉树数量，然后将它们相乘，得到所有可能的组合数量。我们将这些组合数量累加起来，就得到了dp[i][j]的值。最后，我们输出dp[n][m]，即节点个数为n且树的高度不超过m的二叉树的数量。

复杂度

时间复杂度:

这个算法的时间复杂度是$O(n^2\ast m)$，因为我们需要对每一个节点数量i和每一个高度j，都枚举所有可能的左子树和右子树的节点数量k。

空间复杂度:

这个算法的空间复杂度是$O(n\ast m)$，因为我们需要一个二维数组dp来存储所有的状态。

Code

import java.util.*;
import java.io.*;// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {static BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));static PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));static StreamTokenizer sr = new StreamTokenizer(in);static int MAXN = 51;static int MAXM = 51;static int n, m;static int MOD = 1000000007;static long[][] dp = new long[MAXN][MAXN];public static void main(String[] args) throws IOException {n = nextInt();m = nextInt();for(int j = 0; j <= m; j++) {dp[0][j] = 1;}for(int i = 1; i <= n; i++) {for(int j = 1; j <= m; j++) {dp[i][j] = 0;for(int k = 0; k < i; k++) {dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[k][j - 1] * dp[i - k - 1][j - 1] % MOD) % MOD;}}}out.println(dp[n][m]);out.flush();}static int nextInt() throws IOException {sr.nextToken();return (int)sr.nval;}
}