python 算法之克鲁斯卡尔算法

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原理
代码实现

原理

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法是一种用于求解最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）的贪心算法。最小生成树是一个连通加权无向图中生成树（即包含图中所有顶点并且是一棵树），其所有边的权值之和最小。

克鲁斯卡尔算法的基本思想是从图中所有边中选择权值最小的边，并且保证选择的边不构成环路，直到选取了 n-1 条边为止（n 是顶点的数量）。这样得到的就是最小生成树。

下面是克鲁斯卡尔算法的详细步骤：

将图中的所有边按照权值进行升序排序。
初始化一个空的最小生成树 MST。
依次遍历排序后的边，每次取出权值最小的边。
判断当前取出的边是否会形成环路。若不会形成环路，则将该边加入到最小生成树 MST 中。
重复步骤 4，直到最小生成树 MST 中包含了 n-1 条边，其中 n 是图的顶点数量。

代码实现

def kruskal(graph):# 将图中的边按权值排序graph = sorted((w, u, v) for u, nbrs in enumerate(graph) for v, w in nbrs)mst = []  # 存储最小生成树的边parent = list(range(len(graph)))  # 并查集初始化，每个节点的父节点是自己# 并查集的查找操作，找到根节点def find(u):if u != parent[u]:parent[u] = find(parent[u])return parent[u]# 遍历排序后的边for w, u, v in graph:pu, pv = find(u), find(v)if pu != pv:  # 如果两个顶点不在同一个连通分量中，即不会形成环路mst.append((u, v, w))  # 将该边加入最小生成树parent[pv] = pu  # 合并两个连通分量return mst# 示例输入
graph = [[(5, 1), (3, 2)],[(5, 0), (6, 2), (2, 3)],[(3, 0), (6, 1), (7, 3), (9, 4)],[(2, 1), (7, 2), (4, 4)],[(9, 2), (4, 3)]
]# 计算最小生成树
mst = kruskal(graph)
print("最小生成树：", mst)

介绍代码的功能和实现原理：

kruskal() 函数接受一个图 graph 作为输入，并返回该图的最小生成树。
首先，将图中的边按照权值进行排序，这可以通过列表推导式来完成。每条边表示为元组 (w, u, v)，其中 w 是边的权值，u 和 v 是边所连接的两个顶点的索引。
初始化一个空列表 mst，用于存储最小生成树的边。
初始化一个列表 parent，其中的每个元素表示一个节点的父节点，最初都指向自己。这个列表将用于实现并查集。
定义了一个内部函数 find(u)，用于查找节点 u 所在连通分量的根节点。这个函数使用路径压缩技术，可以快速找到根节点，并且在查找过程中将路径上的节点直接连接到根节点，以减少后续查找的时间。
遍历排序后的边，对每一条边 (w, u, v) 进行处理。
对于每条边，使用 find() 函数查找其两个顶点 u 和 v 所在连通分量的根节点 pu 和 pv。
如果 pu 和 pv 不相等，说明 u 和 v 不在同一个连通分量中，加入这条边不会形成环路，因此将其加入最小生成树 mst 中，并将这两个连通分量合并。合并操作通过将 pv 的父节点指向 pu 来完成。
最后，返回最小生成树 mst。