创作不易,友友们给个三连吧!!
一、前言
前期我们解释过二叉树的顺序结构(堆)为什么比较适用于完全二叉树,因为如果用数组来实现非完全二叉树,那么数组的中间部分就可能会存在大量的空间浪费。
而二叉树的链式结构即用链表结构来存储二叉树,这里就没有什么限制了,所有的二叉树都可以用链式结构来存储,因为链式结构存在两个指针分别指向自己的左右孩子,无论是少了左孩子还是少了右孩子,只需要让相应的指针指向NULL就可以了。
虽然链式结构可以表示所有类型的二叉树,但是由于二叉树本身存储数据的价值并不大(链表、顺序表远远优于二叉树),所以实现增删查改是没有太大意义的,学习链式二叉树真正的意义是学会如何去控制、遍历二叉树的结构,为我们后期学习搜索二叉树做好铺垫。而以下的学习中要重点理解二叉树中的递归思想和分治思想 !
二、链式二叉树的实现
2.1 节点结构体的创建
创建的方式和单链表的很相似,唯一的区别就是要有两个指针,一个指向自己的左孩子,一个指向自己的右孩子!
typedef int BTDataType;//方便我们后面要存储其他类型的数据的时候方便修改!
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;//二叉树节点的数据域struct BinaryTreeNode* left;//左孩子struct BinaryTreeNode* right;//右孩子
}BTNode;
2.2 二叉树节点的创建
二叉树节点构建方式和单链表节点的构建方式相同!
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (newnode == NULL)//如果创建不成功{perror("malloc fail");exit(1);}//如果创建成功newnode->data = x;newnode->left = newnode->right = NULL;return newnode;
}
2.3 前序遍历
为了能够深入前中后续遍历,我们先手动创建一个二叉树,后面都按照这个二叉树来研究
下面我先给出前中后续的遍历结果,再逐个分析,要注意,没有箭头默认指向空!
分析前序:
前序的顺序是根、左子树、右子树:首先1是根,接着访问1的左子树2,2也是根,再访问2的左子树3,3也是根,再访问3的左子树N,接着访问3的右子树N,,回归到2,对于2来说,他的左子树已经访问完了,然后访问右子树N,回归1,对于1来说,他的左子树已经访问完了,该访问他的右子树4了,4是根,接着访问4的左子树5,5也是根,接着访问5的左子树N,再访问5的右子树N,然后回归5,对于4来说,左子树访问完了,接着访问6,6的左子树是N,然后访问6的右子树N。此时所有节点都访问完了。
大家可以看看上面的图我画的框框,1这个根右边的2 3 N N N 和4 5 N N 6 N N 分别表示1的左右子树,而对于2这个根来说,3 N N 和 N分别代表2的左右子树,对于4这个根来说,5 N N和6 N N分别代表4的左右子树,对于3、5、6 这三个根来说,他们的左右子树都是N和N。
那么怎么写前序遍历的代码呢?根据上一段的思路我们可以发现,对于根1来说,他的左子树是以2为根的树,他的右子树是以4为根的树,而对于2来说,他的左子树是以3为根的树,右子树是N,对于4来说,他的左子树是以5为根的树,他的右子树是以6为根的树, 而对于3、5、6来说,他们其实也是根,左右子树都是N。所以将问题转化为递归问题。
void PreOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}printf("%d ", root->data);PreOrder(root->left);PreOrder(root->right);
}
画一下递归展开图:
时间复杂度是O(N) 因为每个节点都遍历了一次
空间复杂度也是O(h) 通过上图可以看出,当开辟h个的函数栈帧后,后续的空间都是在前一个空间释放后复用的,所以最多同时只有h个栈帧空间被开辟,根据空间可以重复利用的特点,空间复杂度是o(N)!
中序遍历和后序遍历的方法是一样的,后面就不分析了
2.4 中序遍历
void InOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->data);InOrder(root->right);
}
2.5 后序遍历
void PostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%d ", root->data);
}
2.6 层序遍历
层序遍历是一层一层遍历,之前无论是前序、中序、还是后序遍历,都是根据父子关系(父亲会指向自己的左右孩子)转化成递归问题去遍历的, 但是链式二叉树的指针指向并不指向兄弟节点,所以这边如果要一层一层遍历,需要用到队列。
选择队列的原因是利用队列队头出队尾进的特点,下面进行分析:
Queue.h
void LevelOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root)//如果不为NULL,就进队列QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q))//队列为空,就是遍历完成{BTNode* front = QueueFront(&q);//让每一次循环过来的节点变成根部,再去访问左右子树QueuePop(&q);//记录完一个元素就出队列printf("%d ", front->data);if(front->left)QueuePush(&q, front->left);//左节点不为空,进队列if (front->right)QueuePush(&q, front->right);//右节点不为空,进队列}printf("\n");//遍历完了就可以销毁队列了QueueDestory(&q);
}
2.7 二叉树节点个数
我们先按照按照军棋里的模式来解释分治思想:
假设军长要统计总人数,有两个方法,一个是军长一级一级去视察数人,这显然是效率比较低的, 而另一个方法就是分而治之——利用自己的职权将任务移交给下级,军长把任务分配给两个旅长,然后旅长统计过来的人数加上自己就是全军人数,旅长又分配给连长,将两个连长统计的人数加上自己就是全旅人数,以此类推……
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}
2.8 二叉树叶子节点个数
还是利用分治思想,叶子节点的特征是左右子树都为NULL,我们还是按照分治思想将这个任务拆分下去
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;if (root->left == NULL && root->right == NULL)return 1;return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}
2.9 二叉树第k层节点
还是利用分治思想,将求第k层节点转化为求左子树的k-1层节点加上右子树的k-1层节点。
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root,int k)
{if (root == NULL)return 0;if (k == 1)return 1;return BinaryTreeLevelKSize(root->left,k-1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right,k-1);
}
2.10 二叉树的高度
还是利用分治思想,求高度转化为比较左右子树的大小再+1
int BinaryTreeHeight(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;return BinaryTreeHeight(root->left) > BinaryTreeHeight(root->right) ? BinaryTreeHeight(root->left) + 1 : BinaryTreeHeight(root->right) + 1;
}
其实这样写是有问题的!!!因为每次我递归比较完后,并没有记录最大值,所以导致每次递归的时候最大值都得再重新递归一次!!如果树节点高度特别高的话,就很可能会出现这样的问题。
改进版:
int BinaryTreeHeight(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;int LeftHeight = BinaryTreeHeight(root->left);int RightHeight = BinaryTreeHeight(root->right);return LeftHeight > RightHeight ? LeftHeight + 1 : RightHeight + 1;
}
所以我们在递归时使用三目表达式要注意:如果比较的过程已经递归一次了,比较的结果就不要再去递归了!!可以及时的记录值!!
2.11 二叉树查找值为x的节点
还是利用分治思想,转化为在左子树和右子树中找
BTNode* BTFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL)return NULL;if (root->data == x)return root;BTNode* ret1 = BTFind(root->left, x);if (ret1)return ret1;BTNode* ret2 = BTFind(root->right, x);if (ret2)return ret2;return NULL;
}
2.12 通过前序遍历数组构建二叉树
之前我们构建二叉树是一个节点一个节点去手动连接,这次我们尝试自己利用前序遍历数组去构建二叉树,比如abc##de#g##f###
BTNode* BTCreate(char*arr,int*pi)
{if (arr[*pi] == '#'){(*pi)++;return NULL;}BTNode* root = BuyNode(arr[*pi]);(*pi)++;root->left = BTCreate(arr, pi);root->right = BTCreate(arr, pi);return root;
}
递归展开图:
2.13 二叉树销毁
二叉树要销毁,就要遍历每个节点,因为我们如果先销毁根,那么就很可能找不到他的左子树和右子树了,除非销毁根之前记录一下,但是这样比较麻烦,所以我们选择后序遍历,先销毁左子树,再销毁右子树,再销毁根。
void BTDestory(BTNode* root)
{if (root == NULL)return;BTDestory(root->left);BTDestory(root->right);free(root);//root = NULL;没用
}
注意:这里的参数是一级指针,而root本身也是指针,所以在这里对root置NULL,是没有意义的,所以要使用的话,要在main函数中手动置空(这里不用二级指针的原因是为了保持接口一致性)!!
2.14 判断二叉树是否是完全二叉树
完全二叉树的特点就是:前h-1层是满的,最后一层从前往后要到最后才会访问到NULL,所以们可以分析一下他的特点:
bool BTComplete(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root)QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);//记录该结果,然后再pop出去QueuePop(&q);if (front == NULL)break;QueuePush(&q, root->left);QueuePush(&q, root->right);}//跳出循环后,检查后面的节点是不是还有非空节点,有的话就是非完全二叉树while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);//记录该结果,然后再pop出去QueuePop(&q);if (front){QueueDestory(&q);//队列一定别忘了销毁return false;}QueueDestory(&q);return true;}
}
2.15 判断两颗二叉树是否完全相同
我们还是用分治思想,前序遍历比较
bool IsBTSame(BTNode* root1, BTNode* root2)
{if (root1 == NULL && root2 == NULL)return true;if (root1 == NULL || root2 == NULL)return false;//此时节点肯定不为NULL了,可以解引用找到valif (root1->data != root2->data)return false;//不相等的话只能去找自己的左右子树,左右子树都返回true最后结果才能返回truereturn IsBTSame(root1->left, root2->left) && IsBTSame(root1->right, root2->right);
}
三、链式二叉树实现的全部代码
前两个文件只是因为层序遍历和判断完全二叉树会用到,重点还是看后面两个文件
3.1 queue.h
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
#include<assert.h>
struct BinaryTreeNode;//为了防止嵌套调用,这里声明一下
typedef struct BinaryTreeNode* QDatatype;//方便后面修改存储数据的数据类型
typedef struct QueueNode//队列结点的数据结构
{QDatatype data;//存储数据struct QueueNode* next;
}QNode;typedef struct Queue
{QNode* phead;//指向队头,用于出队(头删)QNode* ptail;//指向队尾,用于入队(尾插)int size;//记录有效元素个数
}Queue;//创建一个队列相关结构体
void QueueInit(Queue* pq);//队列的初始化
void QueuePush(Queue* pq, QDatatype x);//队列的入队(尾插)
void QueuePop(Queue* pq);//队列的出队(头删)
QDatatype QueueFront(Queue* pq);//获取队列头部元素
QDatatype QueueBack(Queue* pq);//获取队列尾部元素
int QueueSize(Queue* pq);//获取队列中有效元素个数
bool QueueEmpty(Queue* pq);//判断队列是否为空
void QueueDestory(Queue* pq);//队列的销毁
3.2 queue.c
#include"Queue.h"
void QueueInit(Queue* pq)
{assert(pq);//判断传的是不是空指针pq->phead = pq->ptail = NULL;pq->size = 0;//因为队列不像栈一样,有一个top表示栈顶元素的下标//所以如果我们想知道这个队列的有效数据个数,就必须遍历队列//由于其先进先出的特性,我们默认只能访问到头元素和尾元素//所以必须访问一个头元素,就出队列一次,这样才能实现遍历//但是这样的代价太大了,为了方便,我们直接用size
}void QueuePush(Queue* pq, QDatatype x)
{assert(pq);//入队必须从队尾入!QNode* newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));//创建一个新节点if (newnode==NULL)//如果新节点申请失败,退出程序{perror("malloc fail");}//新节点创建成功,给新节点初始化一下newnode->data = x;newnode->next = NULL;//开始入队//如果直接尾插的话,由于会用到ptail->next,所以得考虑队列为空的情况if (pq->ptail== NULL)//如果为空,直接把让新节点成为phead和ptail{//按道理来说,如果ptail为空,phead也应该为空// 但是有可能会因为我们的误操作使得phead不为空,这个时候一般是我们写错的问题//所以使用assert来判断一下,有问题的话会及时返回错误信息assert(pq->phead == NULL);pq->phead = pq->ptail = newnode;}else{pq->ptail->next = newnode;pq->ptail = newnode;}pq->size++;
}void QueuePop(Queue* pq)
{assert(pq);//如果队列为空,没有删除的必要assert(!QueueEmpty(pq));//队列中的出队列相当于链表的头删//如果直接头删,那么如果队列只有一个有效数据的话,那么我们将phead的空间释放掉,但是没有将ptail给置空//这样会导致ptail成为一个野指针,所以我们需要考虑只有一个节点多个节点的情况if (pq->phead->next == NULL)//一个节点的情况,直接将这个节点释放并置空即可{free(pq->phead);pq->phead = pq->ptail = NULL;//置空,防止野指针}else//多个节点的情况,直接头删{QNode* next = pq->phead->next;//临时指针记住下一个节点free(pq->phead);pq->phead = next;//让下一个节点成为新的头}pq->size--;
}QDatatype QueueFront(Queue* pq)
{assert(pq);assert(!QueueEmpty(pq));//队列如果为空,则不可能找得到队列头元素//队列不为空的时候,直接返回phead指向的数据return pq->phead->data;
}QDatatype QueueBack(Queue* pq)
{assert(pq);assert(!QueueEmpty(pq));//队列如果为空,则不可能找得到队尾元素//队列不为空的时候,直接返回ptail指向的数据return pq->ptail->data;
}int QueueSize(Queue* pq)
{assert(pq);return pq->size;
}bool QueueEmpty(Queue* pq)//链表为空的情况,可以根据容量,也可以根据ptail==NULL&&phead==NULL
{assert(pq);return pq->ptail == NULL && pq->phead == NULL;
}void QueueDestory(Queue* pq)
{assert(pq);//判断传的是不是空指针//要逐个节点释放QNode* pcur = pq->phead;while (pcur){QNode* next = pcur->next;free(pcur);pcur = next;}pq->phead = pq->ptail = NULL;pq->size = 0;
}
3.3 BT.h
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>
#include"Queue.h"
typedef int BTDataType;//方便我们后面要存储其他类型的数据的时候方便修改!
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;BTNode* BuyNode(BTDataType x);
void PreOrder(BTNode* root);//前序遍历
void InOrder(BTNode* root);//中序遍历
void PostOrder(BTNode* root);//后序遍历
void LevelOrder(BTNode* root);//层序遍历
int BTSize(BTNode* root);//二叉树节点个数
int BTLeafSize(BTNode* root);//二叉树的叶子节点个数
int BTLevelKSize(BTNode* root, int k);//二叉树第k层的节点个数
int BTHeight(BTNode* root);//二叉树的高度
BTNode* BTFind(BTNode* root, BTDataType x);//二叉树找值为x的点
BTNode* BTCreate(char* arr,int*pi);//根据前序数组创建二叉树
void BTDestory(BTNode* root);//销毁二叉树
bool BTComplete(BTNode* root);//判断是否完全二叉树
bool IsBTSame(BTNode* root1, BTNode* root2);//判断两个二叉树是否完全相等
3.4 BT.c
#include"BTtree.h"BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (newnode == NULL)//如果创建不成功{perror("malloc fail");exit(1);}//如果创建成功newnode->data = x;newnode->left = newnode->right = NULL;return newnode;
}void PreOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}printf("%d ", root->data);PreOrder(root->left);PreOrder(root->right);
}void InOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->data);InOrder(root->right);
}void PostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%d ", root->data);
}void LevelOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root)//如果不为NULL,就进队列QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q))//队列为空,就是遍历完成{BTNode* front = QueueFront(&q);//让每一次循环过来的节点变成根部,再去访问左右子树QueuePop(&q);//记录完一个元素就出队列printf("%d ", front->data);if(front->left)QueuePush(&q, front->left);//左节点不为空,进队列if (front->right)QueuePush(&q, front->right);//右节点不为空,进队列}printf("\n");//遍历完了就可以销毁队列了QueueDestory(&q);
}int BTSize(BTNode* root)
{return root == NULL ? 0 : BTSize(root->left) + BTSize(root->right) + 1;
}int BTLeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;if (root->left == NULL && root->right == NULL)return 1;return BTLeafSize(root->left) + BTLeafSize(root->right);
}int BTLevelKSize(BTNode* root,int k)
{if (root == NULL)return 0;if (k == 1)return 1;return BTLevelKSize(root->left,k-1) + BTLevelKSize(root->right,k-1);
}int BTHeight(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;int LeftHeight = BTHeight(root->left);int RightHeight = BTHeight(root->right);return LeftHeight > RightHeight ? LeftHeight + 1 : RightHeight + 1;
}BTNode* BTFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL)return NULL;if (root->data == x)return root;BTNode* ret1 = BTFind(root->left, x);if (ret1)return ret1;BTNode* ret2 = BTFind(root->right, x);if (ret2)return ret2;return NULL;
}BTNode* BTCreate(char*arr,int*pi)
{if (arr[*pi] == '#'){(*pi)++;return NULL;}BTNode* root = BuyNode(arr[*pi]);(*pi)++;root->left = BTCreate(arr, pi);root->right = BTCreate(arr, pi);return root;
}void BTDestory(BTNode* root)
{if (root == NULL)return;BTDestory(root->left);BTDestory(root->right);free(root);//root = NULL;没用
}bool BTComplete(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root)QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);//记录该结果,然后再pop出去QueuePop(&q);if (front == NULL)break;QueuePush(&q, root->left);QueuePush(&q, root->right);}//跳出循环后,检查后面的节点是不是还有非空节点,有的话就是非完全二叉树while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);//记录该结果,然后再pop出去QueuePop(&q);if (front){QueueDestory(&q);//队列一定别忘了销毁return false;}QueueDestory(&q);return true;}
}bool IsBTSame(BTNode* root1, BTNode* root2)
{if (root1 == NULL && root2 == NULL)return true;if (root1 == NULL || root2 == NULL)return false;//此时节点肯定不为NULL了,可以解引用找到valif (root1->data != root2->data)return false;//不相等的话只能去找自己的左右子树,左右子树都返回true最后结果才能返回truereturn IsBTSame(root1->left, root2->left) && IsBTSame(root1->right, root2->right);
}