A.Rectangle Cutting (模拟)
题意:
给出一个长方形,通过平行于原始矩形的一条边进行切割,将该矩形切割成两个边长为整数的矩形。询问是否能通过旋转和移动这两个矩形,得到新的矩形。
分析:
可以发现拼成的新长方形一定是原长方形的一条边减半,一条边翻倍,只要判断平分切开再拼接不会是正方形即可。
代码:
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;void solve() {int n, m;cin >> n >> m;if ((n % 2 == 0 && n / 2 != m) || (m % 2 == 0 && m / 2 != n))cout << "Yes" << endl;elsecout << "No" << endl;
}int main() {int t;cin >> t;while (t--) {solve();}return 0;
}
B.Equalize (双指针)
题意:
给出一个长度为 n n n的数组 a a a,将一个排列加到 a a a数组上之后,统计所有数字的出现次数,问怎样添加排列可以使得所有数字出现的次数中的最大值尽可能大。输出这个最大值。
分析:
元素之间差值小于 n n n可以通过加上一个排列变成相同的值,将题目转化成有多少不同元素满足它们之间的差值都小于 n n n。利用双指针快速计算。
代码:
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
set<int> s;
vector<int> a;void solve() {int n;cin >> n;s.clear();a.clear();for (int i = 0; i < n; i++) {int x;cin >> x;s.insert(x);}for (auto tmp: s)a.push_back(tmp);int maxval = 1, ans = 1, pos = 0;for (int i = 1; i < a.size(); i++) {if (a[i] - a[pos] >= n) {maxval = max(maxval, ans);while (pos < i && a[i] - a[pos] >= n)pos++;ans = i - pos + 1;} elseans++;}maxval = max(maxval, ans);cout << maxval << endl;
}int main() {int t;cin >> t;while (t--) {solve();}return 0;
}
C. Physical Education Lesson (思维)
题意:
定义一个数组 a a a, a 1 = 1 , a 2 = 2 … a k = k , a k + 1 = k − 1 , a k + 2 = k − 2 , … , a 2 k − 2 = 2 a_1 = 1,a_2 = 2 \dots a_k = k,a_{k + 1} = k - 1, a_{k + 2} = k - 2, \dots ,a_{2k - 2}=2 a1=1,a2=2…ak=k,ak+1=k−1,ak+2=k−2,…,a2k−2=2,以 2 k − 2 2k - 2 2k−2为一组重复。给定 n , x n, x n,x,询问使得 a [ n ] = x a[n] = x a[n]=x的 k k k有多少个。
分析:
n n n只有两种情况,在递增的序列上和递减的序列上,如果是递增序列那么 n − x n-x n−x是 2 × k − 2 2\times k-2 2×k−2的倍数,如果是递减序列,那么 n + x − 2 n + x - 2 n+x−2是 2 × k − 2 2 \times k-2 2×k−2的倍数,求出所有可能的 k k k,判断第 n n n个数是否为 x x x即可。
代码:
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;void solve() {int n, x;cin >> n >> x;int l = n + x - 2;int r = n - x;set<int> s;for (int i = 1; i <= l / i; i++)if (l % i == 0) {if (i % 2 == 0 && (i + 2) / 2 >= x)s.insert(i);if ((l / i) % 2 == 0 && (l / i + 2) / 2 >= x)s.insert(l / i);}for (int i = 1; i <= r / i; i++)if (r % i == 0) {if (i % 2 == 0 && (i + 2) / 2 >= x)s.insert(i);if ((r / i) % 2 == 0 && (r / i + 2) / 2 >= x)s.insert(r / i);}cout << s.size() << endl;
}int main() {int t;cin >> t;while (t--) {solve();}return 0;
}
D.Lonely Mountain Dungeons (思维)
题意:
有 n n n个种族,每个种族数量为 c i c_i ci。现在要组建军队,每对处于不同小队的同一种族的生物,都会为军队的总兵力增加 b b b个单位,然而小队越多,越不好管理, k k k个小队组成的军队总兵力会减少 ( k − 1 ) × x (k-1) \times x (k−1)×x。询问怎样组建军队能使得总兵力最大。
分析:
假设当前有 k k k队,某个种族有 x x x人,当 x ≤ k x \le k x≤k时,战力会增加 C ( x , 2 ) C(x,2) C(x,2),当 x > k x > k x>k时,会存在同一种族的人在相同的队伍中,假设有 y y y人,那么需要减去 C ( y , 2 ) C(y,2) C(y,2)。考虑到种族数量加起来为 2 e 5 2e5 2e5,所以考虑暴力枚举 k k k。
代码:
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 2e5 + 5;
vector<LL> num(MAXN, 0);void solve() {LL n, b, x;cin >> n >> b >> x;num.clear();map<LL, LL> map1;LL maxval = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> num[i];maxval = max(maxval, num[i]);map1[num[i]]++;}LL ans = 0;for (int i = maxval; i >= 1; i--) {LL sum = 0;for (auto tmp: map1) {LL x = tmp.first / i;LL cnt = tmp.first % i;sum += (tmp.first * (tmp.first - 1) / 2 - (cnt * (x + 1) * x / 2 + (i - cnt) * x * (x - 1) / 2)) *tmp.second;}LL tmp1 = b * sum;tmp1 -= (i - 1) * x;ans = max(ans, tmp1);}cout << ans << endl;
}int main() {int t;cin >> t;while (t--) {solve();}return 0;
}
E.Modular Sequence (dp)
题意:
给出两个整数 x , y x,y x,y,询问是否存在一个序列 a a a,满足 a 1 = x a_1=x a1=x, a i = a i − 1 + y a_i=a_{i-1}+y ai=ai−1+y或者 a i = a i − 1 % y a_i=a_{i-1} \%y ai=ai−1%y。再给定 n n n和 s s s,询问序列 a a a的前 n n n项和是否等于 s s s。
分析:
可以发现序列 a a a中所有数的余数都是一个固定的数字, s s s先减去这个余数,如果 s s s是合法的,那么 s s s一定是 y y y的倍数,将 s / = y s/=y s/=y将问题转化成 a 1 = x / y , a i = a i − 1 + 1 a_1=x/y,a_i=a_{i-1}+1 a1=x/y,ai=ai−1+1或者 a i = 0 a_i=0 ai=0。设 d p [ i ] dp[i] dp[i]表示总和为 i i i,需要的最短长度。 d p dp dp可以用完全背包进行预处理。由于 a 1 a_1 a1不一定为 0 0 0,所以需要枚举 a 1 a_1 a1往后加了多少位的 1 1 1。再用 d p dp dp判断是否有解。
代码:
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 5;
vector<int> dp(MAXN + 1, 1e9);void init() {dp[0] = 0;for (int i = 1;; i++) {int t = i * (i + 1) / 2;if (t > MAXN)break;for (int j = t; j <= MAXN; j++) {dp[j] = min(dp[j], dp[j - t] + i + 1);}}
}void solve() {int n, x, y, s;cin >> n >> x >> y >> s;int r = x % y;if (1LL * r * n > s) {cout << "NO" << endl;return;}s -= r * n;if (s % y != 0) {cout << "NO" << endl;return;}s /= y;vector<int> a(n + 1);a[1] = x / y;int pos = -1;int sum = a[1], k = a[1];for (int i = 1; i <= n && sum <= s; i++) {if (dp[s - sum] <= n - i) {pos = i;break;}k += 1;sum += k;}if (pos == -1) {cout << "NO" << endl;return;}for (int i = 2; i <= pos; i++) {a[i] = a[i - 1] + 1;}s -= sum;int minval = dp[s];for (int i = 1; s > 0; i++) {int t = i * (i + 1) / 2;while (s > 0 && dp[s - t] + i + 1 == minval) {s -= t;minval -= i + 1;for (int j = 0; j <= i; j++) {pos++;a[pos] = j;}}}cout << "YES" << endl;for (int i = 1; i <= n; i++) {cout << a[i] * y + r << " ";}cout << endl;
}int main() {init();int t;cin >> t;while (t--) {solve();}return 0;
}
赛后交流
在比赛结束后,会在交流群中给出比赛题解,同学们可以在赛后查看题解进行补题。
群号: 704572101,赛后大家可以一起交流做题思路,分享做题技巧,欢迎大家的加入。