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647. 回文子串
前言
思路
算法实现
516.最长回文子序列
前言
思路
算法实现
动态规划总结
动规五部曲回顾
动规各小专题问题
647. 回文子串
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前言
本题利用动态规划求解时,dp数组的定义与前面的就有些不同了,是难点之一。
思路
本题利用动态规划的方法进行求解:
1.确定dp数组及其下标的含义:
如果按照前面做题的思路将dp数组的定义设置为dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话,很难找到递推关系。
因此本题要根据回文子串的性质来确定dp数组:
在判断字符串s是否回文时,只要知道s[1],s[2],s[3] 这个子串是回文的,那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同,如果相同的话,这个字符串s 就是回文串。
此时就找到了一种递归关系,也就是判断一个子字符串(字符串的下表范围[i,j])是否回文,依赖于,子字符串(下表范围[i + 1, j - 1])) 是否是回文。
所以为了明确这种递归关系,我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。
布尔类型的dp[i][j]:表示区间范围[i,j] (左闭右闭)的子串是否是回文子串,如果是dp[i][j]为true,否则为false。
2.确定递推公式
整体上是两种情况,就是s[i]与s[j]相等,s[i]与s[j]不相等这两种。
s[i]与s[j]不相等时,dp[i][j]就是false;
s[i]与s[j]相等时,又分为三种情况:
情况一:下标i与j相同时,此时为同一个字符,必然是回文子串;
情况二:下标i与j相邻时,此时也是回文子串;
情况三:下标i与j不相邻时,要看是s[i]之后和s[j]之前的部分是否是回文子串,若是则算上s[i]、s[j]也为回文子串;
在每种情况中对应统计回文子串的数目result;
3.初始化dp数组:
一开始将dp[i][j]全部初始化为false,否则对后面的判断是否为回文子串有影响;
4.确定遍历顺序:
首先从递推公式中可以看出,情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true,在对dp[i][j]进行赋值true的。dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角,如图:
遍历顺序是从左到右,从下到上。
5.打印dp数组:
举例,输入:"aaa",dp[i][j]状态如下:
图中有6个true,所以就是有6个回文子串。
算法实现
class Solution {
public:int countSubstrings(string s) {vector<vector<bool>> dp(s.size(),vector<bool> (s.size(), false));int result = 0;for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {for (int j = i; j < s.size(); j++) {if (s[i] == s[j]) {if (j - i <= 1) {dp[i][j] = true;result++;}else if (dp[i + 1][j - 1] == true) {dp[i][j] = true;result++;}}}}return result;}
};
516.最长回文子序列
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前言
上一题要求的是连续的回文子串,本题求最长回文子序列就没有了连续的要求。
思路
依然是利用动规五部曲进行分析:
1.确定dp数组及其下标的含义:
dp[i][j]:字符串s在下标在[i, j]范围内的最长回文子串长度为dp[i][j];
2.确定递推公式:
还是分s[i]和s[j]相等和不等两种情况进行讨论:
当s[i]和s[j]相等时,回文子序列长度加2,dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
当s[i]和s[j]不相等时,要考虑s[i]或s[j]单独能否和原子串构成回文子序列,加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j];加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1];那么dp[i][j]一定是取最大的,即:dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
3.初始化dp数组:
从递推公式:dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况,因此需要进行手动初始化,当i与j相同,那么dp[i][j]一定是等于1的;
其他情况dp[i][j]初始为0就行,这样递推公式:dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。
4.确定遍历顺序:
从递归公式中,可以看出,dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ,dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]:
所以遍历顺序为从下到上,从左到右;
5.打印dp数组:
输入s:"cbbd" 为例,dp数组状态如图:
dp[0][s.size() - 1]; 为最终结果。
算法实现
class Solution {
public:int longestPalindromeSubseq(string s) {vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int> (s.size(), 0));for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;elsedp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);}}return dp[0][s.size() - 1];}
};
动态规划总结
动规五部曲回顾
1.确定dp数组及其下标含义;
2.确定递推公式;
3.初始化dp数组;
4.确定遍历顺序;
5.打印dp数组;
动规各小专题问题
背包问题;
打家劫舍;
股票系列;
子序列系列;
各部分题目都有较强的技巧性,需要反复训练总结。