题目：

面试tips：

面试官有可能问到：

如果你需要频繁地查找第 k 小的值，你将如何优化算法？（见思路三）

思路：

思路一：二叉搜索树最大的特点就是中序遍历是递增的。因此最容易想到的是对二叉树进行中序遍历存入数组中，再遍历数组至第k个数，就是二叉树的第k小的数/节点。这样的时间复杂度就是O(N+K),空复为O(N)。显然不是最优。

思路二：在思路一的基础上不采用数组，直接对二叉搜索树进行中序遍历，在遍历的过程中目标是找到第k个小的节点。此时因为是中序要先遍历到最左节点后再退回遍历k个，因此最理想(即二叉搜索树为平衡二叉树)的时复为O(logN+K),最不理想(此二叉搜索树没有右子树)才达到O(N+K)，此方法需要用到栈或递归（因为其遍历到的节点并不处理，它要遍历到最左节点再从最左节点开始处理，是一个后进先出的处理思想）因此需要用到递归或栈，因此空复最理想为O(logN)，最不理想为O(N). 已经比思路一好很多了。

思路三：虽然思路二已经好很多，且觉得应付大部分面试应该没问题。但如果需要频繁查找第k小的值，要如何优化？（这是从leetcode上看来的）觉得有点意思。这个思路是如果能知道以node为根节点的子树有多少个节点(假设存为了一个字典node_count)，则起初node = root。如果node_count[node] < k-1, 则等价于找node.right的第k - (left + 1)个节点；如果node_count[node] == k-1, 则node即为第k个节点；如果node_count[node] > k-1, 则等价于找node.left的第k个节点，一直下去直至找到为止。显然这里就需要预处理node_count，遍历整颗二叉搜索树，统计以每个节点node为根节点的子树的节点个数存入字典中，时复O(N), 空复O(N). 后多次查询第k小的节点时时复最理解为O(logN),最不理想为O(N).

代码实现：

思路一略

思路二的迭代法：

class TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightdef arr2tree(arr, index):# 满二叉树数组格式构造二叉树# 构造arr[index]的二叉树# 满二叉树数组格式: 是指首先按层序遍历顺序，且二叉树的非空节点的左右孩子(尽管为空)都会打印出来，空节点的左右孩子则不打印if index >= len(arr) or arr[index] == None:return Noneroot = TreeNode(val = arr[index])left = arr2tree(arr, 2 * index + 1)right = arr2tree(arr, 2 * index + 2)root.left = leftroot.right = rightreturn rootclass Solution:def kthSmallest(self, root, k) :# 刚才中序遍历递归法查找# 现用中序遍历的迭代法查找第k小的数# 题中说明没有非空的情况 因此不对非空进行处理stack = [root]while stack:node = stack.pop()if node:# 如果不是空 说明第一次遍历至此，用None标记是第二次遍历到此时才开始处理# 中序 为左中右，因此存入栈中是右中左if node.right:stack.append(node.right)stack.append(node)stack.append(None)if node.left:stack.append(node.left)else:node = stack.pop()# 每遇到一个None时 说明这个节点被遍历第二次了 即开始处理了k -= 1if k == 0:return node.valif __name__ == '__main__':arr = [5, 3, 6, 2, 4, None, None, 1]k = 3root = arr2tree(arr, 0)a = Solution()print(a.kthSmallest(root, k))  # 3

思路二的递归法：

class TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightdef arr2tree(arr, index):# 满二叉树数组格式构造二叉树# 构造arr[index]的二叉树# 满二叉树数组格式: 是指首先按层序遍历顺序，且二叉树的非空节点的左右孩子(尽管为空)都会打印出来，空节点的左右孩子则不打印if index >= len(arr) or arr[index] == None:return Noneroot = TreeNode(val = arr[index])left = arr2tree(arr, 2 * index + 1)right = arr2tree(arr, 2 * index + 2)root.left = leftroot.right = rightreturn rootclass Solution:def __init__(self):# 初始化全局变量，这里让self.k作为全局变量是想找整棵树上第k小的数self.k = -1self.result = -1def kthSmallest(self, root, k: int):# 直接在二叉树中找第k小的元素def dfs(root):# 找以root为根节点的第k小的数，找到就【更新】self.result并返回，此函数只需更新因此不用返回值# 终止条件if not root:return# 单层dfs(root.left)self.k -= 1if self.k == 0:self.result = root.valdfs(root.right)self.k = kdfs(root)return self.resultif __name__ == '__main__':arr = [5, 3, 6, 2, 4, None, None, 1]k = 3root = arr2tree(arr, 0)a = Solution()print(a.kthSmallest(root, k))

思路三：

class TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightdef arr2tree(arr, index):# 满二叉树数组格式构造二叉树# 构造arr[index]的二叉树# 满二叉树数组格式: 是指首先按层序遍历顺序，且二叉树的非空节点的左右孩子(尽管为空)都会打印出来，空节点的左右孩子则不打印if index >= len(arr) or arr[index] == None:return Noneroot = TreeNode(val = arr[index])left = arr2tree(arr, 2 * index + 1)right = arr2tree(arr, 2 * index + 2)root.left = leftroot.right = rightreturn rootclass pre_do:def __init__(self, root):self.root = rootself.count_node = {}self.cal_count_node(root)def cal_count_node(self, node):# 得到预处理好的self.count_node字典--后序遍历# 统计以子树中某个节点 为根节点的子树的节点个数# 注意这里如果node为空是不会被存到字典中，因此后面get时要对空作特殊处理if not node:return 0self.count_node[node] = 1 + self.cal_count_node(node.left) + self.cal_count_node(node.right)return self.count_node[node]def get_count_node(self, node):return self.count_node[node] if node else 0def find_kthSmallest(self, k):node = self.rootwhile node:left_count = self.get_count_node(node.left)if left_count < k - 1:node = node.rightk -= left_count + 1elif left_count == k - 1:return node.valelse:node = node.leftclass Solution:def kthSmallest(self, root, k: int) -> int:result = pre_do(root)return result.find_kthSmallest(k)if __name__ == '__main__':arr = [5, 3, 6, 2, 4, None, None, 1]k = 3root = arr2tree(arr, 0)a = Solution()print(a.kthSmallest(root, k))  # 3

参考资料：

1. 《剑指offer》

2. 力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台