动态规划part03
- 343. 整数拆分
- 解题思路
- 96.不同的二叉搜索树
- 解题思路
343. 整数拆分
题目链接: 343. 整数拆分
文章讲解: 343. 整数拆分
视频讲解: 343. 整数拆分
解题思路
动态规划五部曲
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i]:分拆数字i,可以得到的最大乘积为dp[i]。 - 确定递推公式
j是从1开始遍历,拆分j的情况,在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j,比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
也可以这么理解,j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘,而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。
所以递推公式:dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
那么在取最大值的时候,为什么还要比较dp[i]呢?
因为在递推公式推导的过程中,每次计算dp[i],取最大的而已。 - dp初始化
初始化dp[2] = 1 - 遍历顺序
因为拆分一个数n 使之乘积最大,那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。
只不过我们不知道m究竟是多少而已,但可以明确的是m一定大于等于2,既然m大于等于2,也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值。
那么 j 遍历,只需要遍历到 n/2 就可以 - 推导dp数组
// 动态规划
class Solution {public int integerBreak(int n) {//dp[i] 为正整数 i 拆分后的结果的最大乘积int[] dp = new int[n+1];dp[2] = 1;for(int i = 3; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= i / 2; j++){dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]));// j * (i - j) 是单纯的把整数 i 拆分为两个数 也就是 i,i-j ,再相乘//而j * dp[i - j]是将 i 拆分成两个以及两个以上的个数,再相乘。}}return dp[n];}
}
96.不同的二叉搜索树
题目链接: 96.不同的二叉搜索树
文章讲解: 96.不同的二叉搜索树
视频讲解: 96.不同的二叉搜索树
解题思路
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i] : 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。 - 确定递推公式
dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
j相当于是头结点的元素,从1遍历到i为止。
所以递推公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ,j-1 为j为头结点左子树节点数量,i-j 为以j为头结点右子树节点数量 - dp数组如何初始化
初始化dp[0]=0; - 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
// 动态规划
class Solution {public int numTrees(int n) {int[] dp = new int[n+1];dp[0] = 1;for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= i; j++){dp[i] += dp[j-1] * dp[i - j];}}return dp[n];}
}