原理

图像处理中的开操作（Opening）和闭操作（Closing）是形态学（Morphological）操作的两个基本类型，它们都是基于膨胀（Dilation）和腐蚀（Erosion）操作。这些操作通常用于二值化图像，但也可以应用于灰度图像。

腐蚀（Erosion）
腐蚀操作的目的是缩小或消除图像中的前景（通常是白色）对象。在腐蚀操作中，使用一个结构元素（或核）在图像上滑动。如果结构元素在某个位置下的所有像素都是前景像素，则保留该位置的中心像素；否则，该像素被消除（通常设置为背景色）。这导致对象边缘向内收缩或者较小的对象被完全消除。

腐蚀是一种缩小图像区域的操作，
其数学表达为：(A⊖B)={z∣B z​ ⊆A}
其中，A 是原始图像，B 是结构元素，z表示结构元素B中心在位置z的平移，⊖ 表示腐蚀操作。这个公式的含义是，只有当B完全位于A的内部时，A在z的位置才被保留。这通常导致图像中较小的物体消失，边界向内收缩。

膨胀（Dilation）
膨胀操作与腐蚀相反，其目的是扩大图像中的前景对象。使用相同的结构元素滑动操作，但只要结构元素下的任何一个像素是前景像素，就将该位置的中心像素设置为前景。这导致对象的边缘向外扩张。
膨胀是扩大图像区域的操作，
其数学表达为：
（A⊕B)={z∣(B z ∩A)=∅}
其中，A 是原始图像，B 是结构元素，B z表示结构元素B中心在位置z的平移，⊕ 表示膨胀操作。这意味着，只要
B与A在至少一个点上重叠，A在z的位置就被设置为前景。这通常导致边界向外扩张。

开操作（Opening）
开操作是先进行腐蚀后进行膨胀的操作。开操作可以去除小对象或细节（例如噪声），同时保持较大对象的大小和形状不变。因此，它通常用于去噪声和平滑对象的边界，同时不明显改变其面积。
开操作是腐蚀后紧随膨胀的过程，其数学表达为：
A∘B=(A⊖B)⊕B
开操作可以移除小的物体或细节（如噪声点），而不显著改变较大物体的大小。它在数学上表示为先对图像A应用结构元素B的腐蚀操作，然后对结果应用B的膨胀操作。

闭操作（Closing）
闭操作是先进行膨胀后进行腐蚀的操作。闭操作可以填充对象内部的小孔和断裂，同时基本保持对象的大小和形状。因此，它通常用于桥接邻近对象、填充小孔和缝隙，同时不显著改变对象的面积。
闭操作是膨胀后紧随腐蚀的过程，其数学表达为：
A∙B=(A⊕B)⊖B
闭操作可以填充小孔和断裂，而不显著改变较大物体的大小。它在数学上表示为先对图像A应用结构元素B的膨胀操作，然后对结果应用B的腐蚀操作。

应用
在实际应用中，开闭操作对于图像预处理非常有用，如在进行对象识别、特征提取前的噪声去除、边界平滑等。通过选择合适的结构元素和大小，可以对这些操作的效果进行精细控制。

开操作和闭操作的数学原理允许精确地控制图像中的结构，提供了一种强大的工具来增强图像、去除噪声、填充间断以及连接近邻物体。通过选择合适的结构元素（形状和大小），可以对这些操作的效果进行细致的调节，以满足特定的图像处理需求。

python实现下图

结果图显示了对指纹图像先进行开操作再进行闭操作的结果。所用结构元为3×3的方形结构元，开闭操作可以通过函数cv2.morphologyEx(img, op, kernel)实现，op取cv2.MORPH_OPEN和cv2.MORPH_CLOSE分别对应着开闭操作。

代码实现

import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as pltimg = cv2.imread('Fig0911.tif')img_list = [img]
img_name_list = ['original']kernel = np.ones((3, 3), dtype=np.uint8)
img1 = cv2.morphologyEx(img, cv2.MORPH_OPEN, kernel)
img_list.append(img1)
img_name_list.append('open')img2 = cv2.morphologyEx(img1, cv2.MORPH_CLOSE, kernel)
img_list.append(img2)
img_name_list.append('close')_, axs = plt.subplots(1, 3)for i in range(3):axs[i].imshow(img_list[i], cmap='gray')axs[i].set_title(img_name_list[i])axs[i].axis('off')plt.show()

结果展示

开操作：先用B对A进行腐蚀得到AA，然后再用B对AA进行膨胀得到C。
先用B对A进行腐蚀，再用B对其结果进行膨胀，并不会得到原来的A，即膨胀与腐蚀并不像+和-一样是一对完全互补的操作。
作用：先用B对A进行腐蚀，将A中的小细节，小连通区域消除（注意这里是彻底消除），然后用B将A中没有被消除的地方恢复成原来的样子，最终只有被B完全消除掉的小细节没有了，A中其余的部分并没有改变。所以该操作被称为开操作（将两个藕断丝连的部分拉开）。

闭操作作用：先用B对A进行膨胀，将A的细节放大，将A中本不能够连接起来的地方连接起来，然后用B对结果进行腐蚀，将被放大的地方还原（注意，已经被连接起来的地方不会在被腐蚀抹掉）