实训1：Softmax实现手写数字识别
相关知识点: numpy科学计算包，如向量化操作，广播机制等
1 任务目标
1.1 简介
本次案例中，你需要用python实现Softmax回归方法，用于MNIST手写数字数据集分类任务。你需要完成前向计算loss和参数更新。
你需要首先实现Softmax函数和交叉熵损失函数的计算。
y = s o f t m a x ( W T x + b ) L = C r o s s E n t r o p y ( y , l a b e l ) y=softmax(W^Tx+b)\\ L=CrossEntropy(y,label) y=softmax(WTx+b)L=CrossEntropy(y,label)
在更新参数的过程中，你需要实现参数梯度的计算，并按照随机梯度下降法来更新参数。
∂ L ∂ W , ∂ L ∂ b \frac{\partial L}{\partial W},\frac{\partial L}{\partial b} ∂W∂L,∂b∂L
具体计算方法可自行推导，或参照第三章课件。
1.2 MNIST数据集
MNIST手写数字数据集是机器学习领域中广泛使用的图像分类数据集。它包含60,000个训练样本和10,000个测试样本。这些数字已进行尺寸规格化，并在固定尺寸的图像中居中。每个样本都是一个784×1的矩阵，是从原始的28×28灰度图像转换而来的。MNIST中的数字范围是0到9。下面显示了一些示例。 注意：在训练期间，切勿以任何形式使用有关测试样本的信息。
1.3 任务要求
-
代码清单
- a)
data/ 文件夹：存放MNIST数据集。你需要下载数据，解压后存放于该文件夹下。下载链接见文末，解压后的数据为*ubyte形式； - b)
solver.py这个文件中实现了训练和测试的流程。建议从这个文件开始阅读代码； - c)
dataloader.py实现了数据加载器，可用于准备数据以进行训练和测试； - d)
visualize.py实现了plot_loss_and_acc函数，该函数可用于绘制损失和准确率曲线； - e)
optimizer.py你需要实现带momentum的SGD优化器，可用于执行参数更新； - f)
loss.py你需要实现softmax_cross_entropy_loss，包含loss的计算和梯度计算； - g)
runner.ipynb完成所有代码后的执行文件，执行训练和测试过程。
- a)
-
要求
我们提供了完整的代码框架，你只需要完成optimizer.py，loss.py 中的 #TODO部分。你需要提交整个代码文件和带有结果的runner.ipynb (不要提交数据集) 并且附一个pdf格式报告，内容包括：
-
a) 记录训练和测试的准确率。画出训练损失和准确率曲线；
-
b) 比较使用和不使用momentum结果的不同，可以从训练时间，收敛性和准确率等方面讨论差异；
-
c) 调整其他超参数，如学习率，Batchsize等，观察这些超参数如何影响分类性能。写下观察结果并将这些新结果记录在报告中。
-
1.4 注意事项
- 注意代码的执行效率，尽量不要使用for循环；
- 不要在pdf报告中粘贴很多代码(只能包含关键代码)，对添加的代码作出解释;
- 不要使用任何深度学习框架，如TensorFlow，Pytorch等；
- 禁止抄袭。
1.5 参考
- 数据集下载：http://yann.lecun.com/exdb/mnist/index.html
2 代码设计
2.1 Solver.py
这段代码实现了一个Solver类，用于实现基于Softmax模型的训练和评估，主要包括以下几个部分：
- 模型（SoftmaxCrossEntropyLoss）：
- 在
__init__方法中，构建了一个简单的 softmax 回归模型，用于图像分类任务。 - 通过
cfg字典写入模型的配置信息。 - 包含了权重参数 W 和偏差参数 b，通过
forward方法实现了前向传播，计算损失和准确率。 - 通过
gradient_computing方法计算了权重参数 W 和偏差参数 b 的梯度。
- 在
- 数据加载器（Dataloader）：
- 使用
build_loader方法构建了训练、验证和测试的数据加载器。 - 数据加载器通过
build_dataloader函数从数据集中加载数据，并提供按批次获取数据的功能。
- 使用
- 优化器（SGD）：
- 使用
build_optimizer方法构建了随机梯度下降（SGD）优化器。 - 优化器通过
step方法实现了一次权重的更新，使用了动量（momentum）来平滑参数更新。
- 使用
- 训练循环（train）：
- 使用
train方法进行模型训练，包含了多个 epoch 的训练循环。 - 在每个 epoch 中，通过遍历训练集的迭代器，进行前向传播、梯度计算和权重更新。
- 打印每个 iteration 的训练损失和准确率，并在每个 epoch 结束后打印平均训练损失和准确率。
- 在每个 epoch 结束后，使用
validate方法计算验证集上的损失和准确率。
- 使用
- 验证循环（validate）：
- 使用
validate方法在验证集上进行验证，计算平均损失和准确率。
- 使用
- 测试循环（test）：
- 使用
test方法在测试集上进行测试，计算平均损失和准确率。
- 使用
这个框架提供了一个基本的训练流程，可以用于训练和评估一个简单的 softmax 回归模型。在训练过程中，使用了随机梯度下降优化器，动量用于加速参数更新。在每个 epoch 结束后，打印训练集和验证集上的平均损失和准确率。
2.2 loss.py
这段代码实现了SoftmaxCrossEntropyLoss 类，用于计算多类别分类问题中的 softmax 交叉熵损失。
-
初始化函数
__init__：num_input：每个输入样本的大小。num_output：每个输出样本的大小，即类别的数量。trainable：标志是否可以训练，如果设置为True，则表示该层的权重可以通过梯度下降等优化算法进行更新。
-
前向传播函数
forward：-
接收输入矩阵
Input和标签labels。 -
计算线性变换 z = Input ⋅ W + b z = \text{Input} \cdot \text{W} + \text{b} z=Input⋅W+b。
代码如下：
# 计算输出矩阵 z = np.dot(Input, self.W) + self.b -
计算 Softmax 激活函数，得到概率分布
softmax_probs。Softmax函数的定义是：
a i = e x i ∑ k = 1 n e x k a_i = \frac{e^{x_i}}{\sum_{k=1}^n e^{x_k}} ai=∑k=1nexkexi
其中， a i a_i ai是第i个类别的预测概率， x i x_i xi是第i个类别的网络输出，n是类别的总数。Softmax函数的特点是：- 它可以将任意的输入映射到(0,1)区间，表示概率。
- 它的输出的和为1，表示概率分布。
- 它是单调递增的，即输入越大，输出越大。
- 它是可微的，即可以求导数。
代码如下：
# 计算 softmax softmax_probs = np.exp(z) / np.sum(np.exp(z), axis=1, keepdims=True) -
计算交叉熵损失
loss，度量模型预测与实际标签之间的差异。交叉熵损失函数的定义是：
L = − ∑ i = 1 n y i log a i L = -\sum_{i=1}^n y_i \log a_i L=−i=1∑nyilogai
其中， y i y_i yi是第i个类别的真实标签， a i a_i ai是第i个类别的预测概率，n是类别的总数。交叉熵损失函数的特点是：- 它是非负的，即损失值总是大于等于0。
- 它是凸的，即存在一个全局最小值。
- 它是可微的，即可以求导数。
- 它的最小值为0，当且仅当真实标签和预测概率完全相同。
代码如下：
# 计算交叉熵损失 batch_size = Input.shape[0] loss = -np.sum(np.log(softmax_probs[np.arange(batch_size), labels] + EPS)) / batch_size -
计算预测准确度
acc。代码如下：
# 计算准确度 predicted_labels = np.argmax(softmax_probs, axis=1) acc = np.mean(predicted_labels == labels)
-
-
梯度计算函数
gradient_computing：-
接收输入矩阵
Input和标签labels。 -
计算线性变换 z = Input ⋅ W + b z = \text{Input} \cdot \text{W} + \text{b} z=Input⋅W+b 和 Softmax 激活函数，得到概率分布
softmax_probs。代码如下：
# 计算输出矩阵 z = np.dot(Input, self.W) + self.b -
计算 Softmax 交叉熵损失对模型输出的梯度
softmax_grad。
a i = e x i ∑ k = 1 n e x k a_i = \frac{e^{x_i}}{\sum_{k=1}^n e^{x_k}} ai=∑k=1nexkexi
代码如下：# 计算 softmax softmax_probs = np.exp(z) / np.sum(np.exp(z), axis=1, keepdims=True) -
计算权重
W和偏置b的梯度。要计算Softmax分类的梯度，我们需要求出损失函数对网络输出的偏导数，即 ∂ L ∂ x i \frac{\partial L}{\partial x_i} ∂xi∂L。根据链式法则，我们有：
∂ L ∂ x i = ∂ L ∂ a i ∂ a i ∂ x i \frac{\partial L}{\partial x_i} = \frac{\partial L}{\partial a_i} \frac{\partial a_i}{\partial x_i} ∂xi∂L=∂ai∂L∂xi∂ai
其中， ∂ L ∂ a i \frac{\partial L}{\partial a_i} ∂ai∂L是损失函数对预测概率的偏导数， ∂ a i ∂ x i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} ∂xi∂ai是预测概率对网络输出的偏导数。我们分别求解这两项。首先， ∂ L ∂ a i \frac{\partial L}{\partial a_i} ∂ai∂L的计算比较简单，根据交叉熵损失函数的定义，我们有：
∂ L ∂ a i = − y i a i \frac{\partial L}{\partial a_i} = -\frac{y_i}{a_i} ∂ai∂L=−aiyi
其次， ∂ a i ∂ x i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} ∂xi∂ai的计算需要用到Softmax函数的性质，根据Softmax函数的定义，我们有：
∂ a i ∂ x i = e x i ∑ k = 1 n e x k − e x i e x i ( ∑ k = 1 n e x k ) 2 = a i − a i 2 = a i ( 1 − a i ) \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \frac{e^{x_i} \sum_{k=1}^n e^{x_k} - e^{x_i} e^{x_i}}{(\sum_{k=1}^n e^{x_k})^2} = a_i - a_i^2 = a_i (1 - a_i) ∂xi∂ai=(∑k=1nexk)2exi∑k=1nexk−exiexi=ai−ai2=ai(1−ai)
其中，我们用到了分子的求导法则和分母的求导法则，以及指数函数的求导法则。注意，这里的偏导数是对角线元素，即当i=j时的情况。如果 i ≠ j i \neq j i=j，则有：
∂ a i ∂ x j = − e x i e x j ( ∑ k = 1 n e x k ) 2 = − a i a j \frac{\partial a_i}{\partial x_j} = \frac{- e^{x_i} e^{x_j}}{(\sum_{k=1}^n e^{x_k})^2} = - a_i a_j ∂xj∂ai=(∑k=1nexk)2−exiexj=−aiaj
综上，我们可以得到Softmax分类的梯度的表达式：
∂ L ∂ x i = ∂ L ∂ a i ∂ a i ∂ x i = − y i a i a i ( 1 − a i ) = a i − y i \frac{\partial L}{\partial x_i} = \frac{\partial L}{\partial a_i} \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = -\frac{y_i}{a_i} a_i (1 - a_i) = a_i - y_i ∂xi∂L=∂ai∂L∂xi∂ai=−aiyiai(1−ai)=ai−yi
这个结果非常简洁，它表示网络输出和真实标签之间的差值。如果我们用向量的形式表示，我们可以写成：
∇ x L = a − y \nabla_x L = a - y ∇xL=a−y
其中， a a a是预测概率向量， y y y是真实标签向量， ∇ x L \nabla_x L ∇xL是损失函数对网络输出的梯度向量。这个向量可以用来更新网络的参数，使得损失函数的值降低，预测概率更接近真实标签。代码如下：
# 计算梯度 Δ=a-y(a:预测向量，y：one-hot标签向量) softmax_grad = softmax_probs.copy() softmax_grad[np.arange(Input.shape[0]), labels] -= 1 softmax_grad /= Input.shape[0]# W 和 b 的梯度 self.grad_W = np.dot(Input.T, softmax_grad) self.grad_b = np.sum(softmax_grad, axis=0, keepdims=True)
-
-
Xavier 权重初始化函数
XavierInit：- 使用 Xavier 初始化方法来初始化权重
W和偏置b。
- 使用 Xavier 初始化方法来初始化权重
这个类的核心是 Softmax 交叉熵损失的计算，以及对应的梯度计算，这在深度学习的训练过程中是非常常见的。
2.3 optimizer.py
这段代码实现了SGD 的类，该类是随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）优化器的实现。
-
初始化函数
__init__：model：待优化的模型对象。learning_rate：学习率，控制权重更新的步长。momentum：动量参数，控制之前梯度的权重。默认为 0.0。
-
step方法：-
执行一步更新，更新模型的权重。
-
使用动量的权重更新方法。
-
对于每个可训练的层，执行以下操作：
-
如果该层还没有
diff_W或diff_b属性，就将它们初始化为0。代码如下：
if not hasattr(layer, 'diff_W'):layer.diff_W = 0.0 if not hasattr(layer, 'diff_b'):layer.diff_b = 0.0 -
更新动量
diff_W和diff_b。带动量的随机梯度下降的参数更新公式如下：
v t = β v t − 1 − α ∇ J ( θ t ) θ t + 1 = θ t + v t v_t = \beta v_{t-1} -\alpha\nabla J(\theta_t) \\ \theta_{t+1} =\theta_t + v_t vt=βvt−1−α∇J(θt)θt+1=θt+vt
其中， θ t \theta_t θt 是第 t 次迭代的参数， ∇ J ( θ t ) \nabla J(\theta_t) ∇J(θt) 是第 t 次迭代的梯度， α \alpha α 是学习率， v t v_t vt 是第 t t t 次迭代的动量项。不带动量的随机梯度下降的参数更新公式如下：
θ t + 1 = θ t − α ∇ J ( θ t ) \theta_{t+1} = \theta_t - \alpha\nabla J(\theta_t) θt+1=θt−α∇J(θt)
可以看出，不带动量的随机梯度下降只考虑当前的梯度，而不考虑之前的梯度，因此更新的方向可能会更加随机和不稳定。代码如下：
# 使用动量更新权重 v=av'- ϵΔ(a：动量参数，ϵ：学习率) layer.diff_W = self.momentum * layer.diff_W - self.learning_rate * layer.grad_W layer.diff_b = self.momentum * layer.diff_b - self.learning_rate * layer.grad_b -
更新权重
W和偏置b。代码如下：
# 更新权重 θ=θ+v layer.W += layer.diff_W layer.b += layer.diff_b
-
-
这个类的主要作用是根据梯度和学习率来更新模型的权重，其中引入了动量来平滑更新过程，提高收敛性。
2.4 dataloader.py
以上代码定义了一个用于处理数据集的类 Dataset，以及用于数据迭代的类 IterationBatchSampler 和 Dataloader。
2.4.1 Dataset 类
- 初始化函数
__init__：data_root：数据集根目录。mode：模式，可以是 ‘train’、‘val’ 或 ‘test’。num_classes：类别数量，默认为 10。
__len__方法：- 返回数据集中样本的数量。
__getitem__方法：- 根据给定的索引
idx返回对应的图像和标签。 - 将图像归一化到 [0, 1] 的范围，并减去均值。
- 根据给定的索引
2.4.2 IterationBatchSampler 类
- 初始化函数
__init__：dataset：数据集对象。max_epoch：最大的迭代次数。batch_size：每个批次的样本数，默认为 2。shuffle：是否在每个迭代前随机打乱数据。
prepare_epoch_indices方法：- 准备每个迭代的索引。
- 如果
shuffle为真，将对索引进行随机打乱。 - 将索引划分成多个批次，存储在
batch_indices中。
__iter__方法：- 返回一个迭代器，用于迭代每个批次的索引。
__len__方法：- 返回迭代器的长度，即迭代的批次数。
2.4.3 Dataloader 类
- 初始化函数
__init__：dataset：数据集对象。sampler：批次采样器对象。
__iter__方法：- 根据批次索引生成每个批次的图像和标签。
- 使用
Dataset中的__getitem__方法获取图像和标签。
__len__方法：- 返回批次采样器的长度，即迭代的批次数。
2.4.4 build_dataloader 函数
- 参数：
data_root：数据集根目录。max_epoch：最大的迭代次数。batch_size：每个批次的样本数。shuffle：是否在每个迭代前随机打乱数据，默认为False。mode：模式，可以是 ‘train’、‘val’ 或 ‘test’。
- 返回值：
- 返回一个
Dataloader对象，用于加载数据集。
- 返回一个
这些类和函数的组合构建了一个数据处理流程，方便在训练和测试过程中加载、迭代和处理数据。
2.5 visualize.py
本代码定义了一个用于可视化损失和准确度曲线的函数 plot_loss_and_acc。
- 参数：
loss_and_acc_dict：一个字典，包含不同模型或设置下的损失和准确度列表。
- 可视化损失曲线：
- 创建一个新的图形。
- 初始化
min_loss和max_loss为 100.0 和 0.0。 - 遍历
loss_and_acc_dict中的每个键值对，其中键是模型或设置的名称，值是包含损失和准确度列表的元组。 - 对于每个模型或设置，更新
min_loss和max_loss，找到该模型或设置下的最小和最大损失值。 - 获取当前模型或设置的迭代次数
num_epoch。 - 使用方块 (
'-s') 绘制损失曲线，并以模型或设置的名称作为标签。 - 设置损失曲线的 x 轴标签为 ‘Epoch’，y 轴标签为 ‘Loss’。
- 显示图例，设置 x 轴刻度为每两个迭代显示一次，并设置坐标轴范围。
- 显示损失曲线图。
- 可视化准确度曲线：
- 创建一个新的图形。
- 初始化
min_acc和max_acc为 1.0 和 0.0。 - 遍历
loss_and_acc_dict中的每个键值对，其中键是模型或设置的名称，值是包含损失和准确度列表的元组。 - 对于每个模型或设置，更新
min_acc和max_acc，找到该模型或设置下的最小和最大准确度值。 - 获取当前模型或设置的迭代次数
num_epoch。 - 使用方块 (
'-s') 绘制准确度曲线，并以模型或设置的名称作为标签。 - 设置准确度曲线的 x 轴标签为 ‘Epoch’，y 轴标签为 ‘Accuracy’。
- 显示图例，设置 x 轴刻度为每两个迭代显示一次，并设置坐标轴范围。
- 显示准确度曲线图。
通过这个函数，可以方便地比较不同模型或设置在训练过程中的损失和准确度趋势，从而更好地了解模型的性能。
3 实验运行
本次试验对比了使用与不使用momentum动量的梯度下降算法，对基于Softmax的手写数字识别的结果。
3.1 无动量的梯度下降
-
模型训练
该代码用给定的配置
cfg创建一个Solver类的实例runner，并通过runner.train()进行模型的训练。'data_root': 数据集的根目录路径。'max_epoch': 训练的最大轮次数。'batch_size': 每个小批次的样本数。'learning_rate': 学习率，控制权重更新的步长。'momentum': 动量参数，此处设置为 0，表示不使用动量。'display_freq': 控制每隔多少个迭代显示一次训练信息。
代码如下：
# train without momentum cfg = {'data_root': 'data','max_epoch': 10,'batch_size': 100,'learning_rate': 0.01,'momentum': 0,'display_freq': 50, }runner = Solver(cfg) loss1, acc1 = runner.train()结果如下：
Epoch [0][10] Batch [0][550] Training Loss 2.5201 Accuracy 0.0800 Epoch [0][10] Batch [50][550] Training Loss 1.8997 Accuracy 0.4800 Epoch [0][10] Batch [100][550] Training Loss 1.6516 Accuracy 0.5600 Epoch [0][10] Batch [150][550] Training Loss 1.3129 Accuracy 0.6800 Epoch [0][10] Batch [200][550] Training Loss 1.3129 Accuracy 0.7000 Epoch [0][10] Batch [250][550] Training Loss 1.1217 Accuracy 0.7600 Epoch [0][10] Batch [300][550] Training Loss 0.9862 Accuracy 0.7600 Epoch [0][10] Batch [350][550] Training Loss 1.0584 Accuracy 0.7900 Epoch [0][10] Batch [400][550] Training Loss 0.8796 Accuracy 0.8200 Epoch [0][10] Batch [450][550] Training Loss 0.8113 Accuracy 0.8500 Epoch [0][10] Batch [500][550] Training Loss 0.8511 Accuracy 0.7800Epoch [0] Average training loss 1.2378 Average training accuracy 0.6812 Epoch [0] Average validation loss 0.7118 Average validation accuracy 0.8656 ... Epoch [9] Average training loss 0.4040 Average training accuracy 0.8901 Epoch [9] Average validation loss 0.3151 Average validation accuracy 0.9200 -
性能测试
该代码用于测试经过训练后的模型在测试集上的性能。
- 调用
runner.test()方法，该方法会使用测试集上的样本进行模型的测试，并返回测试损失和测试准确度。 - 打印输出测试结果。
代码如下：
test_loss, test_acc = runner.test() print('Final test accuracy {:.4f}\n'.format(test_acc))结果如下：
Final test accuracy 0.9017 - 调用
3.2 带动量的梯度下降
-
模型训练
该代码用给定的配置
cfg创建一个Solver类的实例runner，并通过runner.train()进行模型的训练。'data_root': 数据集的根目录路径。'max_epoch': 训练的最大轮次数。'batch_size': 每个小批次的样本数。'learning_rate': 学习率，控制权重更新的步长。'momentum': 动量参数，此处设置为 0.9。'display_freq': 控制每隔多少个迭代显示一次训练信息。
代码如下：
# train with momentum cfg = {'data_root': 'data','max_epoch': 10,'batch_size': 100,'learning_rate': 0.01,'momentum': 0.9,'display_freq': 50, }runner = Solver(cfg) loss2, acc2 = runner.train()结果如下：
Epoch [0][10] Batch [0][550] Training Loss 2.5536 Accuracy 0.0500 Epoch [0][10] Batch [50][550] Training Loss 0.8920 Accuracy 0.7500 Epoch [0][10] Batch [100][550] Training Loss 0.5691 Accuracy 0.8700 Epoch [0][10] Batch [150][550] Training Loss 0.5367 Accuracy 0.8600 Epoch [0][10] Batch [200][550] Training Loss 0.5084 Accuracy 0.8900 Epoch [0][10] Batch [250][550] Training Loss 0.3843 Accuracy 0.9000 Epoch [0][10] Batch [300][550] Training Loss 0.5654 Accuracy 0.8800 Epoch [0][10] Batch [350][550] Training Loss 0.3942 Accuracy 0.9100 Epoch [0][10] Batch [400][550] Training Loss 0.4692 Accuracy 0.9100 Epoch [0][10] Batch [450][550] Training Loss 0.3678 Accuracy 0.8800 Epoch [0][10] Batch [500][550] Training Loss 0.3902 Accuracy 0.9300Epoch [0] Average training loss 0.5806 Average training accuracy 0.8430 Epoch [0] Average validation loss 0.3173 Average validation accuracy 0.9158 ... Epoch [9] Average training loss 0.2929 Average training accuracy 0.9177 Epoch [9] Average validation loss 0.2341 Average validation accuracy 0.9346 -
性能测试
该代码用于测试经过训练后的模型在测试集上的性能。
- 调用
runner.test()方法，该方法会使用测试集上的样本进行模型的测试，并返回测试损失和测试准确度。 - 打印输出测试结果。
代码如下：
test_loss, test_acc = runner.test() print('Final test accuracy {:.4f}\n'.format(test_acc))结果如下：
Final test accuracy 0.9220带动量的梯度下降算法的结果优于不带动量的梯度下降算法。
- 调用
3.3 可视化图像
该代码使用自定义的 plot_loss_and_acc 函数，将训练过程中的损失和准确度可视化。
代码如下：
plot_loss_and_acc({"momentum=0": [loss1, acc1],"momentum=0.9": [loss2, acc2]
})
-
损失曲线
-
精确度曲线
4 总结
通过本次实验设计，更加深入的理解了回归分类算法，包括 softmax 激活函数、交叉熵损失函数、梯度下降算法等。并对深度学习的代码架构有了初步了解，知道了带动量的梯度下降算法的结果，相比于不带动量的梯度下降算法，可以在最初的训练就达到较好的准确率，和较低的loss值，并更快的收敛，收敛的精确度更高，损失也更小。
