孙子定理和“物不知数”问题

孙子定理，也称为中国剩余定理或中国余数定理。孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。此定理，在公元5-6世纪的中国南北朝时期的数学家孙子提出的“物不知数”问题可以被视为中国剩余定理的一个应用实例。

《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。

解一

采用通用的方法：逐步满足法

七七数之剩二即除以7余2的数可以写成7n+2，从小到大排列：9，16，23，31，……

然后从小到大找除以3余2的（三三数之剩二）和以5余3的（五五数之剩三）的数：发现最小的是23.

所以23就是所求的数。

先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。

解二

可以使用孙子定理（中国剩余定理）来解决这个问题

先简要介绍中国剩余定理，下面用现代数学的语言来说明。

假设有如下的一组线性同余方程：

x ≡ a1 (mod m1)

x ≡ a2 (mod m2)

…

x ≡ an (mod mn)

其中，m1， m2， …， mn是两两互质的正整数，a1， a2， …， an是整数，求解这样的一组线性同余方程的一般公式如下：

x = (Σ(ai × Mi × ti)) mod M

其中，M = m1 × m2 × … × mn，Mi = M ÷ mi，ti是Mi对mi的模逆元，即满足(Mi × ti) ≡ 1 (mod mi)的整数。

模逆元也称为模反元素，假设有一个整数a和一个模m，如果存在一个整数b，使得ab ≡ 1 (mod m)，那么我们就称b是a关于模m的模逆元或者模反元素。

关于孙子定理详情可见孙子定理_百度百科

下面使用孙子定理来解决这个问题

设这个整数为x。根据题目的条件，我们可以列出以下同余方程组：

x ≡ 2 (mod 3)

x ≡ 3 (mod 5)

x ≡ 2 (mod 7)

在这个问题中，a1, a2, a3分别代表的是每个同余方程的模余数，即a1 = 2, a2 = 3, a3 = 2。

首先计算所有模数的乘积：M = 3 × 5 × 7 = 105

然后，为每个方程计算Mi，即模数乘积除以对应的模数：

M1 = M ÷ 3 = 35

M2 = M ÷ 5 = 21

M3 = M ÷ 7 = 15

接下来，我们需要计算每一个模逆元ti 即满足(Mi × ti) ≡ 1 (mod mi)的整数

对于M1，我们有 (35 × 2) mod 3 = 1，所以t1 = 2

对于M2，我们有 (21 × 1) mod 5 = 1，所以t2 = 1

对于M3，我们有 (15 × 1) mod 5 = 1，所以t3 = 1

【注：具体说来，对于M1=35，我们需要找到一个数， (35 × t1) mod 3 = 1。通过尝试，我们发现t1 = 2可以满足这个等式，因为 (35 × 2) mod 3 = 70 mod 3 = 1。所以在这个情况下，我们说2就是35关于模3的模逆元。

在更复杂的问题中，尝试所有可能的整数可能是不现实的。这时，我们可以使用扩展欧几里得算法来高效地计算模逆元，这是一个更高级的主题。】

最后，我们将计算得到的结果带入到中国剩余定理的公式中：

x = (a1 × M1 × t1 + a2 × M2 × t2 + a3 × M3 × t3) mod M

= (2 × 35 × 2 + 3 × 21 × 1 + 2 × 15 × 1) (mod 105)

= (140 + 63 + 30) (mod 105)

= 23 (mod 105)

因此，物的数目为23。