旅行是许多人的热爱，但是在规划一个完美的假期时，找到最经济的路线常常是一个挑战。这里就需要引入一个著名的优化问题——旅行商问题。本文将介绍TSP的基础知识，并使用MTZ消除子环方法优化一个简单的TSP问题的示例。

旅行商问题简介

TSP，全称为Traveling Salesman Problem，即旅行商问题。它是一个经典的组合优化问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商能够访问一组城市，并且总路程最短。
在TSP中，假设有一个旅行商需要访问N个城市，每个城市之间的距离已知。问题的目标是找到一条路径，使得旅行商能够从一个城市出发，最多只能经过所有城市一次（出发城市除外），最终回到出发城市，并且使得总路程最短。
TSP是一个非常重要且具有挑战性的问题，它在实际应用中有广泛的应用，如物流、电路板布线、旅游规划等。然而，由于TSP是一个NP-hard问题，对于大规模的问题，求解最优解是非常困难的，需要使用启发式算法、确切算法等来求解。

解决方案

下面是使用整数线性规划方法的简单描述：

1. 定义问题：将每个城市视为TSP中的节点，城市之间的距离视为边的权重。
2. 建立数学模型：使用二进制变量定义节点之间的连接关系，例如x[i,j]表示是否从节点i到节点j的路径。使用p[i,j]表示节点i到节点j的距离。
3. 构建约束条件：

• 每个节点只能进入一次：对于每个节点i，约束条件为 ∑ x[i,j] = 1。
• 每个节点只能离开一次：对于每个节点i，约束条件为 ∑ x[j,i] = 1。
• 避免子环路：对于每个节点子集S，确保其节点之间的连接关系不构成环路。这可以通过添加额外的约束条件来实现，例如割平面约束或子环路消除约束（本文使用的方法）。

4. 定义目标函数：目标是最小化总路程。目标函数可以定义为 Minimize ∑(i,j) p[i,j] * x[i,j]。
5. 使用优化求解器：使用适合您编程语言的优化库或工具（本文使用的是MindOpt 优化求解器和MindOpt APl 建模语言），将模型加载到求解器中，并运行求解器来找到最优解。

一个问题示例

问题描述和数据搜集

小明目前在做一份毕业旅行的规划。打算从城市1出发，分别去如下几个城市：2,3,4,5,6,7,8,9,10，每个城市去一次，然后再回到城市1。

由于经费有限，小明在制定节省大旅游计划，比如住宿便宜青旅、蹭同学寝室、旅游景点门票绕开高峰期，计划里可调整的主要是路费和耗时。

为了简化问题，小明以高铁费用为参考，来计算花费最少的旅行路径。

在12306软件上查询了各个城市之间通行的路费如下：（并登记在一个表格文件 railway_cost.csv里。票价12306会有折扣，因此会出现不一致情况，按感觉的中位数随机选)

	上海	杭州	黄山	苏州	南京	千岛湖	景德镇	金华	宁波	舟山
上海	0	73	190	38	135	143	217	147	116	无
杭州	-	0	110	111	112	62	181	74	71	无
黄山	-	-	0	230	240	50	71	176.5	无	无
苏州	-	-	-	0	94	182	无	190	182	无
南京	-	-	-	-	0	190	325	180	201	无
千岛湖	-	-	-	-	-	0	119	128	无	无
景德镇	-	-	-	-	-	-	0	146	无	无
金华	-	-	-	-	-	-	-	0	130	无
宁波	-	-	-	-	-	-	-	-	0	20
舟山	-	-	-	-	-	-	-	-	-	0

查询数据发现，舟山市一个特殊的很多海岛的城市，与外界高铁不方便，最合理的是宁波去再回宁波。

• 这样会产生一个矛盾：每个城市去一次，对于宁波因为路过会去两次，与去一次冲突。
• 对于这个问题，解决策略是：舟山必然和宁波相连地去游玩，去掉这个局部小环路。
• 因此，在建立数学模型的时候，可以将舟山先省略，先排其他的路程。

数学规划建模

下面我们采用数学规划的方法来建模这个旅行商问题。

---

首先：定义集合，描述数据，方便后面描述时候索引用。

• 城市集合 $C$
• 得到两两城市之间有方向的边(线段向量）的集合 $E$，用$e_{i,j}$来表示，$i$不等于$j$

高铁票价作为参数：

• 两地点之间车票价格 $p_{ij},\forall i,j\in E$

---

然后：我们定义变量来解决这个问题。

设置变量是数学建模的关键一步，要思考我们可以操控改变的决策，能怎么用数学量化符号来表示。

比如这里我们想要找路径，那么直接可以设置0-1变量记录两两城市之间的路径是否有生效。即

• 0-1的二进制决策变量 $x_{ij},\forall i,j\in E$。如果经过这个路线，则$x_{ij}=1$；如果没有经过这个点，则$x_{ij}=0$。

---

然后：根据设置的变量，我们来描述结果评估好坏，比如本TSP问题我们用花费来评价，

• 则我们设置目标函数：最小化总旅行成本： $\min {\sum }_{i,j\in E}{p}_{ij}\cdot x_{ij}$

---

然后：开始设置约束，来限定变量的取值逻辑，使得符合要求又能找到可行解。

这里比较容易想到的约束是：

• 保证每个地点有两条路线相连接，其中一条为进入路线，一条为出去路线：
  • 对于任意城市$\forall c\in C$，${\sum }_{c,j\in E}{x}_{cj}=1$，且 ${\sum }_{i,c\in E}{x}_{ic}=1$

子环问题

这里我们思考这个问题，或者编程尝试运行后会发现：仅有上面这条约束，会导致多个子圈（子回路）的情况，即算出来多个环，如下图示意。我们需要加限制是的只有一个圈环。这个过程称为消除子回路（subtour elimination）。（用户可自行尝试修改后文代码仅有这两条约束时运行结果，了解子环。）

消除子环的约束形式有多种方式，比如MTZ模型(Miller-Tucker-Zemlin subtour elimination constraints)和DFJ模型(Dantzig-Fulkerson-Johnson subtour elimination constraints)。

本文主要介绍MTZ的方法，它的设计很巧妙。

MTZ模型：

首先，我们引入自由变量 $u_i\ge 0$ 来代表i是路径中的第几个点。

然后引入一个 Big-M，大M法思路，引入一个足够大的数，联合 0-1变量 $x_{i}j$来构造一个不等式，如下：

• $(u_i-u_j)+1<=M(1-x_{ij})$，其中i
  • 当$x_{ij}=1$时，表示i->j是路径中的一个有向线段，此时$u_i$与$u_j$是路径上相继的两个点，因此 $u_i-u_j=-1$，上述约束成立；
  • 当$x_{ij}=0$，右边的值$M$足够大，上述公式也成立。

为了更好地估计，这里我们的Big-M取值最好接近理论上界：

• 由于u_i和u_j的差异最大是城市数量 $N$ 减去1，即$N-1$，
• 即不等式左边是 $N-1+1=N$, 可取Big-M为$N$。
• 再将变量都挪到等式左边，整理得到 $(u_i-u_j)+N\ast x_{ij}-(N-1)<=0$

此外，需要注意的是，此$u_i$记录的是$1-N$个城市的顺序。去环后是个单向顺序。而实际的我们本例中的TSP问题，是从起点城市$1$出发后，最后需要回到起点$1$。

• 因此，除了城市集合C，我们还另外拓了个城市，序号$N+1$，此序号就是起点城市，其路费的费用与起点城市相同。
• 与之对应的，前面的进、出城市只有一条的约束，也会因为这个增加的节点，有变化：
  • 城市间线段的结合E增加了N个城市到终点城市的向量
  • 1-N 的城市都只有一条出去的线路
  • 2-N+1的城市都只有一条回来的线路

整理后得到数学公式如下：

min ⁡ ∑ i , j ∈ E p i j ⋅ x i j s.t. x i j ∈ { 0 , 1 } ∑ c , j ∈ E x c j = 1 , ∀ c ∈ { 1.. N } ∑ j , c ∈ E x j c = 1 , ∀ c ∈ { 2.. N + 1 } ( u i − u j ) + N ⋅ x i j − ( N − 1 ) < = 0 , ∀ i , j ∈ { 1.. N } u i ≥ 0 \begin{array}{rll} \min & \sum_{i,j \in E} p_{ij} \cdot x_{ij} & \\ \text{s.t.} & x_{ij} \in \{0,1\} & \\ & \sum_{c,j \in E} x_{cj} =1,& \forall c \in \{1..N\} \\ & \sum_{j,c \in E} x_{jc} =1,& \forall c \in \{2..N+1\} \\ & (u_i - u_j) + N \cdot x_{ij} - (N -1) <= 0, & \forall i,j \in \{1..N\} \\ & u_{i} \geq 0 & \\ \end{array} mins.t.​∑i,j∈E​pij​⋅xij​xij​∈{0,1}∑c,j∈E​xcj​=1,∑j,c∈E​xjc​=1,(ui​−uj​)+N⋅xij​−(N−1)<=0,ui​≥0​∀c∈{1..N}∀c∈{2..N+1}∀i,j∈{1..N}​

选择工具编程和清理数据

这里我们采用达摩院自研的代数建模语言 MindOpt APL（MAPL）进行编程。方便码代码和更换求解器测试。

为了编程的时候方便，也为了数据能统一表达，

• 我们将上述的城市进行编号1-9。整理在 data/city_list.csv。
• 对于无高铁的，临时用大数值（10000）来代替其价格防止被选，并且将之前的半三角的价格，转置粘贴再相加后，得到价格如文件 data/price.csv。
  • MAPL目前对于文件形式的二维表格的读入理解支持不好，比较适合复制进代码直接改，或者拉成k-v对的长表更利于读取（文件 data/price_longlist.csv）。下文代码给了两种示例。

最后撰写MAPL的代码如下:

clear model;
option modelname TSP_01; #定义存储文件名# ----------建模--------Start----
# TSP_01.maplprint "导入数据和参数-------";
## 导入数据------------
# 城市集合---
param fileDir = "data/";
set City = {read fileDir+"city_list.csv" as "<1n>" skip 1}; # 读取城市序号
param CityName[City] = read fileDir+"city_list.csv" as "<1n> 2s" skip 1;  #读取城市名称param cityNum = card(City);# 路费参数---
# 输入方式1
param price[City*City] = read fileDir+"price_longlist.csv" as "<1n,2n> 5n" skip 1;  #读取高铁费用
#print price;#输入方式2
#param price[City*City] =
#    |1,      2,      3,      4,      5,      6,      7,      8,      9|
#|1|  0,		73,		190,	38,		135,	143,	217,	147,	116|
#|2| 73,		0,		110,	111,		112,	62,		181,	74,		71|
#|3|190,		110,	0,		230,	240,	50,		71,		176.5,	10000|
#|4| 38,		111,	230,	0,		94,		182,	10000,	190,	182|
#|5|135,		112,	240,	94,		0,		190,	325,	180,	201|
#|6|143,		62,		50,		182,	190,	0,		119,	128,	10000|
#|7|217,		181,	71,		10000,	325,	119,	0,		146,	10000|
#|8|147,		74,		176.5,	190,	180,	128,	146,	0,		130|
#|9|116,		71,		10000,	182,	201,	10000,	10000,	130,	0|;
#print price;# 设定起始城市----
param startCity = 1;  #选择对应数字序号的城市为起始城市(startCity)，此处可根据需要修改成自己的出发城市
# 其他的城市
set City_internal = City - {startCity}; # 引入虚拟城市，实际就是起始城市，对虚拟城市endCity给予ID赋值，
# 比如路径 1->3->4->2->1,最后一个1是虚拟引入的
# 注意：引入虚拟城市，是为了消除TSP中所有的环，否则引入MTZ约束后，问题会不可行。(因为MTZ约束实际上不允许环存在，这也包括了TSP问题的可行解)
param endCity = cityNum + 1; #生成边的集合----
# 城市之间的两两互通（有方向） + 除了起始城市外的所有城市去结束城市
set Edge = {<i,j> in City*City with i!=j:<i,j>} + {k in City_internal:<k, endCity>}; 
#print Edge;print "开始建模-------";
## 定义变量-----------
var u[City] >= 0 ; # MTZ模型需要，代表各个城市是路径中的第几个点
var x[Edge] binary; #这个边是否有## 目标函数------------
minimize totalCost : sum{<i,j> in Edge with j != endCity} price[i,j] * x[i,j] + sum{k in City_internal} price[k,startCity]*x[k,endCity]; 
# 注：结束节点endCity的路费，用startCity的price来替## 约束函数------------
# 每个城市离开1次,除结束城市外
subto leaveCityEquals1_: forall {c in City} sum{ <c,j> in Edge} x[c,j] == 1;# 每个城市进入1次，除起始城市外
subto enterCityEquals1_: forall {c in (City_internal + {endCity})} sum{ <i,c> in Edge} x[i,c] == 1;# 消除子环
# MTZ模型：# 引入自由变量u_i>= 0来代表i是路径中的第几个点。# 然后引入一个Big-M，构造 (u_i - u_j) +1 <= M (1- x_ij)：#  - 当x_ij=1时，表示i->j是路径中的一个有向线段，此时u_i与u_j是路径上相继的两个点，因此 u_i - u_j = -1，上述约束成立；#  - 当x_ij =0，右边的值足够大，上述公式也成立。# 为了更好地估计，这里我们的Big-M取值最好接近理论上界。 由于u_i和u_j的差异最大是cityNum-1，可取Big-M为cityNum。# 整理得到 (u_i - u_j) + cityNum * x_ij <= cityNum -1
subto MTZ_: forall {<i,j> in Edge with j!=endCity } u[i] - u[j] + cityNum * x[i,j] <= cityNum-1;print "开始求解-------";## 求解-----
option solver mindopt;     # （可选）指定求解用的求解器，默认是MindOpt
option mindopt_options 'print=0'; #设置求解器输出级别，减少过程打印
#option mindopt_options 'iisfind=1'; # 设置IIS
solve;# 求解## 打印约束--------在调试时候求解不出时候打印
#print "IIS info:"; 
# 如果想避免人工列举所有约束，也可以使用MAPL的内置关键字_con与_ncons来一次性  遍历全部约束，代码如下:
#for i in 1.._ncons with _con[i].iis > 0: print "{}{}: iisType={}" % _con[i].name, _con[i].index, _con[i].iis;print "打印结果-------";
#display; #结果太多，省略，需要打印的时候打印forall {<i,j> in Edge with x[i,j]>=0.5 and j != endCity}print "{}号城市{} --> {}号城市{}：{},价格{}"%i,CityName[i],j,CityName[j],x[i,j],price[i,j];#用起始城市替换结束城市名称
forall {<i,endCity> in Edge with x[i,endCity]>=0.5 } print "{}号城市{} --> {}号城市{}：{},价格{}" % i, CityName[i], startCity, CityName[startCity], x[i,endCity], price[i,startCity];print "整理后访问的路径是：---------";forall { y in 1..9 }forall {<i> in City with u[i] == y-1 }print "第{}个城市是{}号{}" % y, i, if CityName[i] == "宁波" then CityName[i] + ", 之后往返舟山" else CityName[i] end;print "最后回到起始城市是{}号{}"%endCity,CityName[startCity];forall {<i,j> in Edge with x[i,j]>=0.5 and j != endCity}print "{}->{}"% (if CityName[i] == "宁波" then CityName[i] + "->舟山
舟山->宁波
宁波" else CityName[i] end), CityName[j];forall {<i,endCity> in Edge with x[i,endCity]>=0.5 } print "{}->{}"% (if CityName[i] == "宁波" then CityName[i] + "->舟山
舟山->宁波
宁波" else CityName[i] end), CityName[startCity];print "总花费是 = {}"% (sum{<i,j> in Edge with j != endCity} price[i,j] * x[i,j] + sum{k in City_internal} price[k,startCity]*x[k,endCity]) + 2 * 20;# 验证MTZ约束
#forall {<i,j> in City * City with i < j and j >= 2} 
#   print "u[{}]_{} - u[{}]_{} + (cityNum -1) * x[i,j]_{} = {}" % i,u[i],j,u[j],x[i,j],(u[i] - u[j] + (cityNum -1) * x[i,j]);

运行上述代码结果如下：

导入数据和参数-------
开始建模-------
开始求解-------
Running mindoptampl
wantsol=1
print=0
MindOpt Version 1.0.1 (Build date: 20231114)
Copyright (c) 2020-2023 Alibaba Cloud.Start license validation (current time : 04-FEB-2024 15:05:26).
License validation terminated. Time : 0.005sOPTIMAL; objective 819.00Completed.
打印结果-------
1号城市上海 --> 4号城市苏州：1,价格38
2号城市杭州 --> 6号城市千岛湖：1,价格62
3号城市黄山 --> 7号城市景德镇：1,价格71
4号城市苏州 --> 5号城市南京：1,价格94
5号城市南京 --> 2号城市杭州：1,价格112
6号城市千岛湖 --> 3号城市黄山：1,价格50
7号城市景德镇 --> 8号城市金华：1,价格146
8号城市金华 --> 9号城市宁波：1,价格130
9号城市宁波 --> 1号城市上海：1,价格116
整理后访问的路径是：---------
第1个城市是1号上海
第2个城市是4号苏州
第3个城市是5号南京
第4个城市是2号杭州
第5个城市是6号千岛湖
第6个城市是3号黄山
第7个城市是7号景德镇
第8个城市是8号金华
第9个城市是9号宁波, 之后往返舟山
最后回到起始城市是10号上海
上海->苏州
杭州->千岛湖
黄山->景德镇
苏州->南京
南京->杭州
千岛湖->黄山
景德镇->金华
金华->宁波
宁波->舟山
舟山->宁波
宁波->上海
总花费是 = 859

最后如果大家想基于这个问题进行修改，做更多的尝试，可以扫描下方的二维码或者点击这个链接，进入MindOpt Studio 云上建模求解平台中获取（无需下载软件）。