组合数学基础

隔板法

X 1 + X 2 + . . . + X n = m , X i > = 0 X_1+X_2+...+X_n=m,\quad X_i>=0 X1+X2+...+Xn=m,Xi>=0
求方程解的个数 求方程解的个数 求方程解的个数
m 个球插入 n − 1 个板将 m 个球分成 n 份 m个球插入n-1个板将m个球分成n份 m个球插入n1个板将m个球分成n
方程解的个数 ( m n + m − 1 ) 方程解的个数(^{n+m-1}_{m}) 方程解的个数(mn+m1)


如果要求每份球的个数都大于1该怎么做?
X 1 + X 2 + . . . + X n = m , X i > = 1 X_1+X_2+...+X_n=m,\quad X_i>=1 X1+X2+...+Xn=m,Xi>=1
求方程解的个数 求方程解的个数 求方程解的个数
令 X ′ = X 1 − 1 , X ′ > = 0 , 令 X^{'} = X_1-1,X^{'}>=0, X=X11,X>=0,
X 1 + X 2 + . . . + X n = m − n , X i ′ > = 0 X_1+X_2+...+X_n=m-n,\quad X_i^{'}>=0 X1+X2+...+Xn=mn,Xi>=0
方程解的个数 ( n − 1 m − n + n − 1 ) = ( n − 1 m − 1 ) 方程解的个数(^{m-n+n-1}_{n-1})=(^{m-1}_{n-1}) 方程解的个数(n1mn+n1)=(n1m1)
直观上将,我们可以直接先将每份里面都放一个球,然后再按上面的没有限制条件的做
也可以这样理解 m 个球之间有 m − 1 个空,在这 m − 1 个空里插入 n − 1 个隔板 也可以这样理解m个球之间有m-1个空,在这m-1个空里插入n-1个隔板 也可以这样理解m个球之间有m1个空,在这m1个空里插入n1个隔板
image


本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/667818.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

Ubuntu下的磁盘管理,分区管理,挂载和卸载分区

探索Ubuntu下的磁盘管理 在Ubuntu操作系统中,磁盘管理是系统维护中至关重要的一部分。它涉及到分区、格式化、挂载、监视以及维护磁盘等操作。本文将带您深入了解Ubuntu下的磁盘管理,并介绍一些常用的工具和技术。 1. 磁盘基础知识 在开始磁盘管理之前…

Acwing---3302. 表达式求值

表达式求值 1.题目2.基本思想3.代码实现 1.题目 给定一个表达式,其中运算符仅包含 ,-,*,/(加 减 乘 整除),可能包含括号,请你求出表达式的最终值。 注意: 数据保证给定的表达式合法。题目保证符号 - 只作…

服务器和云服务器哪个更安全?

随着云计算技术的不断发展,越来越多的企业开始选择使用云服务器来存储和处理数据。然而,对于一些企业来说,他们可能更倾向于使用传统的服务器。在这种情况下,安全性成为了一个重要的考虑因素。那么,服务器和云服务器哪…

mac下载工具:JDownloader 2 for Mac 中文版

JDownloader是一款开源的下载管理工具,主要使用Java编程语言开发,因此它能够在支持Java的操作系统上运行,包括Windows、Linux和Mac OS。这款软件专门为那些需要通过网盘下载文件的用户提供便利,它支持众多流行的网盘服务&#xff…

11、SystemInit函数解读

1、系统时钟初始化函数:SystemInit(); 使用库函数的时候,在系统启动之后会自动调用 2、首先如果使用外部时钟源HSE,要配置外部晶振频率:stm32f4xx.h 3、初始化之前首先通过宏定义定义下面变量来定义系统时钟频率: …

python将Excel文档转成.db数据库文件

python实现Excel转.db数据库 1.程序实现 程序实现以下功能: 1.读取一个Excel文件,文件名通过函数传参数传入 2.将文件读取的内容保存到一个数据库文件中 3.数据库的文件名以传入的Excel文件的文件名命名 4.将excel文件的工作簿的名字作为数据库的表单名 5.将Excel…

idea修改项目git地址

大家好,今天给大家分享的知识是如何在idea中修改项目的git地址。 一、修改地址 首先我们先找到菜单栏中Git选项,然后点击管理远程(Manage Remote) 之后双击origin之后就可以定义名称或者URL了。

电路设计(10)——超温报警电路的proteus仿真

1.题目背景 在现实生活中,常有一种工程技术,即带有自动温度补偿的设备,能在规定温度内正常工作。但是为了设备安全,需设定工作的上限温度,万一温控补偿失效,设备温度一旦超出上限温度时,便立即切…

前端excel带样式导出 exceljs 插件的使用

案例 <!DOCTYPE html> <html><head><meta charset"utf-8" /><meta name"viewport" content"widthdevice-width, initial-scale1"><title>exceljs 使用</title></head><body><button …

ReactNative实现宽度变化实现的动画效果

效果如上图所示&#xff0c;通过修改设备宽度实现动画效果 import React, {useRef, useEffect, useState} from react; import {Animated, Text, View, Image} from react-native;const FadeInView props > {const fadeAnim useRef(new Animated.Value(0)).current;React…

PyTorch、NCNN、Numpy三者张量的shape

目录 一、PyTorch二、NCNN三、Numpy 一、PyTorch 在 PyTorch 中&#xff0c;张量&#xff08;Tensor&#xff09;的形状通常按照 (N, C, H, W) 的顺序排列&#xff0c;其中&#xff1a; N 是批量大小&#xff08;batch size&#xff09; C 是通道数&#xff08;channel number…

【Node系列】连接数据库

文章目录 一、连接MySql二、连接MongoDB三、相关链接 一、连接MySql 首先&#xff0c;您需要安装mysql模块。在命令行中&#xff0c;导航到您的项目目录并输入以下命令&#xff1a; npm install mysql然后&#xff0c;您可以在Node.js代码中使用mysql模块来连接MySQL数据库、…

在vs code的terminal,debug执行python main.py --train True

GPT4告诉我&#xff1a; 在VS Code中以debug状态执行带有参数&#xff08;如--train&#xff09;的main.py文件&#xff0c;你需要在launch.json配置文件中正确设置参数。以下是详细步骤&#xff1a; 打开你的main.py文件&#xff1a;确保你的main.py文件已经在VS Code中打开…

鸿蒙 状态管理-应用存储

前提&#xff1a;基于官网3.1/4.0文档。参考官网文档 基于Android开发体系来进行比较和思考。&#xff08;或有偏颇&#xff0c;自行斟酌&#xff09; 1.概念 装饰器&#xff08;State、Prop等&#xff09;是用于组件的状态修饰符&#xff0c;本篇讲的是更上一层级别&#xff…

牛客周赛 Round 31(A~F)

文章目录 ABCDEF A #include <bits/stdc.h> #define int long long #define rep(i,a,b) for(int i (a); i < (b); i) #define fep(i,a,b) for(int i (a); i > (b); --i) #define pii pair<int, int> #define pll pair<long long, long long> #defi…

华为自动驾驶干不过特斯拉?

文 | AUTO芯球 作者 | 李诞 什么&#xff1f; 华为的智能驾驶方案干不过蔚小理&#xff1f; 特斯拉的智能驾驶[FSD]要甩中国车企几条街&#xff1f; 这华为问界阿维塔刚刚推送“全国都能开”的城区“无图 NCA” 就有黑子来喷了 这是跪久了站不起来了吧 作为玩车14年&…

Pytorch: nn.dropout

Dropout 是一种用于深度学习模型的正则化技术&#xff0c;旨在减少模型对特定训练样本的过度拟合。其主要作用包括&#xff1a; 减少过拟合&#xff1a; Dropout 阻止神经网络对某些特定输入值过度依赖&#xff0c;从而提高模型的泛化能力。通过随机地失活神经元&#xff08;将…

flutter开发实战-可扩展popup弹窗template模版样式

flutter开发实战-可扩展popup弹窗template模版样式 最近在看到一个flutter_beautiful_popup&#xff0c;可以美化弹窗窗口样式。该插件通过一个template模版的类BeautifulPopupTemplate作为抽象的base类。 一、基类BeautifulPopupTemplate 在BeautifulPopupTemplate中&…

1-1 动手学深度学习v2-线性回归-笔记

简化核心模型 假设1: 影响房价的关键因素是卧室个数&#xff0c;卫生间个数和居住面积&#xff0c;记为 x 1 x_{1} x1​&#xff0c; x 2 x_{2} x2​&#xff0c; x 3 x_{3} x3​假设2: 成交价是关键因素的加权和 y w 1 x 1 w 2 x 2 w 3 x 3 b yw_{1}x_{1}w_{2}x_{2}w_{3…

RabbitMQ——基于 KeepAlived + HAProxy 搭建 RabbitMQ 高可用负载均衡集群

一、集群简介 1.1 集 群架构 当单台 RabbitMQ 服务器的处理消息的能力达到瓶颈时&#xff0c;此时可以通过 RabbitMQ 集群来进行扩展&#xff0c;从而达到提升吞吐量的目的。 RabbitMQ 集群是一个或多个节点的逻辑分组&#xff0c;集群中的每个节点都是对等的&#xff0c;每…